Номер 715 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Решение пункта а)

Для доказательства кратности упростим исходное выражение:

1. Раскроем скобки: $n(n + 5)$ превращается в $n^2 + 5n$, а произведение $(n - 3)(n + 2)$ дает $n^2 + 2n - 3n - 6$.
2. Запишем всё выражение, учитывая минус перед вторыми скобками:
   $n^2 + 5n - (n^2 - n - 6)$
3. Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные:
   $n^2 + 5n - n^2 + n + 6 = 6n + 6$
4. Вынесем общий множитель $6$ за скобки:
   $6(n + 1)$

Так как один из множителей равен $6$, то всё произведение при любом натуральном $n$ делится на $6$ без остатка. Что и требовалось доказать.

Решение пункта б)

Действуем по аналогичному алгоритму:

1. Заметим, что $(n - 1)(n + 1)$ — это разность квадратов: $n^2 - 1$.
2. Перемножим вторую пару скобок: $(n - 7)(n - 5) = n^2 - 5n - 7n + 35 = n^2 - 12n + 35$.
3. Вычтем из первого выражения второе:
   $n^2 - 1 - (n^2 - 12n + 35) = n^2 - 1 - n^2 + 12n - 35$
4. Приведем подобные слагаемые:
   $12n - 36$
5. Вынесем $12$ за скобки:
   $12(n - 3)$

Полученное выражение содержит множитель $12$, следовательно, оно кратно $12$ при любом $n > 2$ (чтобы значение в скобках было натуральным или нулем). Доказано.