Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 см2. Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника.
Краткое решение
a+b=35⟹b=35−a (a−5)(b+5)=ab+50 (a−5)(35−a+5)=a(35−a)+50 (a−5)(40−a)=35a−a2+50 40a−a2−200+5a=35a−a2+50 a=25,b=10 Ответ: 25 см и 10 см.
Подробное решение
📚 Теория: Геометрические формулы
Для прямоугольника со сторонами a и b:
- Периметр: P=2(a+b)
- Площадь: S=ab
Решим задачу поэтапно:
- Пусть a — первоначальная длина в см, а b — первоначальная ширина.
Зная периметр, найдем сумму сторон:
2(a+b)=70⟹a+b=35⟹b=35−a. - Первоначальная площадь была равна S1=ab=a(35−a).
- Запишем новые размеры:
- Новая длина: a−5
- Новая ширина: b+5=(35−a)+5=40−a
- Новая площадь S2=(a−5)(40−a) больше старой на 50 см2:
(a−5)(40−a)=a(35−a)+50 - Раскроем скобки и упростим уравнение:
40a−a2−200+5a=35a−a2+50 45a−200=35a+50 45a−35a=50+200 10a=250 a=25 - Вычислим ширину:
b=35−25=10.
Проверка: Изначальная площадь 25⋅10=250. Новая площадь 20⋅15=300. Разница 50, что соответствует условию.
