Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 796

Номер 796 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что значение выражения:

  • а) (35−34)(33+32)(3^5 - 3^4)(3^3 + 3^2) делится на 2424;
  • б) (210+28)(25−23)(2^{10} + 2^8)(2^5 - 2^3) делится на 6060;
  • в) (163−83)(43+23)(16^3 - 8^3)(4^3 + 2^3) делится на 6363;
  • г) (1252+252)(52−1)(125^2 + 25^2)(5^2 - 1) делится на 3939.

Краткое решение

а)
34(3−1)⋅32(3+1)=34⋅2⋅32⋅4=36⋅8=35⋅(3⋅8)=35⋅24.3^4(3 - 1) \cdot 3^2(3 + 1) = 3^4 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 4 = 3^6 \cdot 8 = 3^5 \cdot (3 \cdot 8) = 3^5 \cdot 24.
б)
28(22+1)⋅23(22−1)=28⋅5⋅23⋅3=211⋅15=29⋅4⋅15=29⋅60.2^8(2^2 + 1) \cdot 2^3(2^2 - 1) = 2^8 \cdot 5 \cdot 2^3 \cdot 3 = 2^{11} \cdot 15 = 2^9 \cdot 4 \cdot 15 = 2^9 \cdot 60.
в)
((24)3−(23)3)⋅((22)3+23)=(212−29)(26+23)=( (2^4)^3 - (2^3)^3 ) \cdot ( (2^2)^3 + 2^3 ) = (2^{12} - 2^9)(2^6 + 2^3) =
=29(23−1)⋅23(23+1)=212⋅7⋅9=212⋅63.= 2^9(2^3 - 1) \cdot 2^3(2^3 + 1) = 2^{12} \cdot 7 \cdot 9 = 2^{12} \cdot 63.
г)
((53)2+(52)2)⋅24=(56+54)⋅24=54(52+1)⋅24=( (5^3)^2 + (5^2)^2 ) \cdot 24 = (5^6 + 5^4) \cdot 24 = 5^4(5^2 + 1) \cdot 24 =
=54⋅26⋅24=54⋅(2⋅13)⋅(3⋅8)=54⋅16⋅39.= 5^4 \cdot 26 \cdot 24 = 5^4 \cdot (2 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 8) = 5^4 \cdot 16 \cdot 39.

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство кратности

Для доказательства того, что выражение кратно числу NN, необходимо разложить его на множители так, чтобы один из множителей был равен NN (или делился на NN).
Основные приемы:
1. Приведение степеней к общему основанию.
2. Вынесение общего множителя за скобки.

Подробный разбор доказательств

Пункт а): выделение множителя 24

В каждой скобке вынесем за скобки степень с наименьшим показателем:

  • Первая скобка: 35−34=34(31−1)=34⋅23^5 - 3^4 = 3^4(3^1 - 1) = 3^4 \cdot 2.
  • Вторая скобка: 33+32=32(31+1)=32⋅43^3 + 3^2 = 3^2(3^1 + 1) = 3^2 \cdot 4.

Перемножим результаты: (34⋅2)⋅(32⋅4)=3(4+2)⋅8=36⋅8(3^4 \cdot 2) \cdot (3^2 \cdot 4) = 3^{(4+2)} \cdot 8 = 3^6 \cdot 8.

Нам нужно доказать делимость на 24. Заметим, что 24=3⋅824 = 3 \cdot 8. Заберем одну тройку из 363^6:

35⋅(3⋅8)=35⋅24.3^5 \cdot (3 \cdot 8) = 3^5 \cdot 24.

Так как один из множителей равен 24, всё выражение делится на 24.

Пункт в): приведение к основанию 2

Здесь основания разные: 16, 8, 4 и 2. Приведем всё к основанию 2:

16=24  ⟹  163=(24)3=21216 = 2^4 \implies 16^3 = (2^4)^3 = 2^{12}
8=23  ⟹  83=(23)3=298 = 2^3 \implies 8^3 = (2^3)^3 = 2^9
4=22  ⟹  43=(22)3=264 = 2^2 \implies 4^3 = (2^2)^3 = 2^6

Выражение принимает вид: (212−29)(26+23)(2^{12} - 2^9)(2^6 + 2^3). Выносим множители:

29(23−1)⋅23(23+1)=29⋅7⋅23⋅9=212⋅(7⋅9)=212⋅63.2^9(2^3 - 1) \cdot 2^3(2^3 + 1) = 2^9 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 9 = 2^{12} \cdot (7 \cdot 9) = 2^{12} \cdot 63.

Число 63 является множителем, значит делимость доказана.

Пункт г): получение 39

Приведем 125 и 25 к основанию 5:

1252=(53)2=56125^2 = (5^3)^2 = 5^6
252=(52)2=5425^2 = (5^2)^2 = 5^4

Преобразуем выражение: (56+54)(25−1)=54(52+1)⋅24=54⋅26⋅24(5^6 + 5^4)(25 - 1) = 5^4(5^2 + 1) \cdot 24 = 5^4 \cdot 26 \cdot 24.

Разложим числа 26 и 24 на простые множители, чтобы найти 39 (13⋅313 \cdot 3):

54⋅(2⋅13)⋅(3⋅8)=54⋅16⋅39.5^4 \cdot (2 \cdot \mathbf{13}) \cdot (\mathbf{3} \cdot 8) = 5^4 \cdot 16 \cdot \mathbf{39}.

Делимость на 39 доказана.

💡 Похожие номера

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...