Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях переменных:
- а) 126y3+(x−5y)(x2+25y2+5xy) при x=−3,y=−2;
- б) m3+n3−(m2−2mn−n2)(m−n) при m=−3,n=4.
Краткое решение
а) Раскроем скобки и упростим:
126y3+(x−5y)(x2+5xy+25y2)= =126y3+x3+5x2y+25xy2−5x2y−25xy2−125y3= =x3+y3. При x=−3,y=−2:
(−3)3+(−2)3=−27−8=−35. Ответ: -35.
б) Раскроем скобки и упростим:
m3+n3−(m3−m2n−2m2n+2mn2−mn2+n3)= =m3+n3−m3+3m2n−mn2−n3=3m2n−mn2. При m=−3,n=4:
3⋅(−3)2⋅4−(−3)⋅42=3⋅9⋅4+3⋅16=108+48=156. Ответ: 156.
Подробное решение
📚 Теория: Порядок действий
При упрощении выражений с несколькими переменными придерживайтесь алгоритма:
1. Сначала выполните умножение многочленов (каждое слагаемое на каждое).
2. Внимательно раскройте скобки, перед которыми стоит минус.
3. Приведите подобные слагаемые.
4. Только в упрощенное выражение подставляйте числовые значения.
Подробный разбор решения
Разбор пункта а)
1. Умножение скобок: Перемножим (x−5y) и (x2+5xy+25y2). Заметим, что порядок слагаемых во второй скобке мы изменили для удобства.
x(x2+5xy+25y2)−5y(x2+5xy+25y2)= =(x3+5x2y+25xy2)−(5x2y+25xy2+125y3) 2. Раскрытие и сокращение: После раскрытия скобок слагаемые 5x2y и 25xy2 взаимно уничтожаются. Остается x3−125y3.
3. Итоговое упрощение: Добавим первое слагаемое из условия:
126y3+x3−125y3=x3+y3. 4. Вычисление: Подставляем числа. Помните, что отрицательное число в нечетной степени (кубе) остается отрицательным.
Разбор пункта б)
1. Умножаем многочлены внутри скобок:
(m2−2mn−n2)(m−n)=m3−m2n−2m2n+2mn2−mn2+n3 Приведем подобные внутри этой части: m3−3m2n+mn2+n3.
2. Вычитание из основной части: Теперь вычтем полученный результат из m3+n3. Перед скобкой стоит минус, поэтому знаки внутри меняются на противоположные:
m3+n3−(m3−3m2n+mn2+n3)=m3+n3−m3+3m2n−mn2−n3 3. Результат упрощения: 3m2n−mn2.
4. Подстановка: 3⋅(−3)2⋅4−(−3)⋅42=3⋅9⋅4+3⋅16=108+48=156.
