Номер 807 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Разложите на множители многочлен:

а)

a^{3} - 2 a^{2} + 2 a - 4

;

д)

a^{2} b - b^{2} c + a^{2} c - b c^{2}

;

б)

x^{3} - 12 + 6 x^{2} - 2 x

;

е)

2 x^{3} + x y^{2} - 2 x^{2} y - y^{3}

;

в)

c^{4} - 2 c^{2} + c^{3} - 2 c

;

ж)

16 a b^{2} - 10 c^{3} + 32 a c^{2} - 5 b^{2} c

;

г)

- y^{6} - y^{5} + y^{4} + y^{3}

;

з)

6 a^{3} - 21 a^{2} b + 2 a b^{2} - 7 b^{3}

Краткое решение

а)

a^{3} - 2 a^{2} + 2 a - 4 =

= (a^{3} - 2 a^{2}) + (2 a - 4) =

= a^{2} (a - 2) + 2 (a - 2) =

= (a^{2} + 2) (a - 2) .

б)

x^{3} + 6 x^{2} - 2 x - 12 =

= (x^{3} + 6 x^{2}) - (2 x + 12) =

= x^{2} (x + 6) - 2 (x + 6) =

= (x^{2} - 2) (x + 6) .

в)

c^{4} + c^{3} - 2 c^{2} - 2 c =

= (c^{4} + c^{3}) - (2 c^{2} + 2 c) =

= c^{3} (c + 1) - 2 c (c + 1) =

= (c^{3} - 2 c) (c + 1) =

= c (c^{2} - 2) (c + 1) .

г)

- y^{6} - y^{5} + y^{4} + y^{3} =

= - (y^{6} + y^{5}) + (y^{4} + y^{3}) =

= - y^{5} (y + 1) + y^{3} (y + 1) =

= (- y^{5} + y^{3}) (y + 1) =

= - y^{3} (y^{2} - 1) (y + 1) =

= - y^{3} (y - 1) (y + 1)^{2} .

д)

a^{2} b + a^{2} c - b^{2} c - b c^{2} =

= (a^{2} b + a^{2} c) - (b^{2} c + b c^{2}) =

= a^{2} (b + c) - b c (b + c) =

= (a^{2} - b c) (b + c) .

е)

2 x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2} - y^{3} =

= (2 x^{3} - 2 x^{2} y) + (x y^{2} - y^{3}) =

= 2 x^{2} (x - y) + y^{2} (x - y) =

= (2 x^{2} + y^{2}) (x - y) .

ж)

16 a b^{2} - 5 b^{2} c + 32 a c^{2} - 10 c^{3} =

= (16 a b^{2} - 5 b^{2} c) + (32 a c^{2} - 10 c^{3}) =

= b^{2} (16 a - 5 c) + 2 c^{2} (16 a - 5 c) =

= (b^{2} + 2 c^{2}) (16 a - 5 c) .

з)

6 a^{3} - 21 a^{2} b + 2 a b^{2} - 7 b^{3} =

= (6 a^{3} - 21 a^{2} b) + (2 a b^{2} - 7 b^{3}) =

= 3 a^{2} (2 a - 7 b) + b^{2} (2 a - 7 b) =

= (3 a^{2} + b^{2}) (2 a - 7 b) .

Подробное решение

📚 Теория: Метод группировки

Если многочлен не имеет общего множителя для всех своих членов, его можно разложить на множители, объединяя слагаемые в группы.
1. Сгруппируйте слагаемые так, чтобы в каждой группе был общий множитель.
2. Вынесите общие множители из каждой группы за скобки.
3. Если в скобках получились одинаковые выражения, вынесите этот новый общий множитель.

Подробный разбор решения

Шаг 1: Группировка слагаемых

Для того чтобы разложить многочлен на множители методом группировки, необходимо объединить слагаемые в такие пары, из которых можно вынести общий множитель. Например, в пункте б) мы объединяем $x^{3}$ с $6 x^{2}$ , а $- 2 x$ с $- 12$ .

Шаг 2: Вынесение общих множителей внутри групп

В каждой группе находим и выносим за скобки общий буквенный или числовой множитель. В пункте ж) из первой пары $(16 a b^{2} - 5 b^{2} c)$ выносим $b^{2}$ , а из второй $(32 a c^{2} - 10 c^{3})$ выносим $2 c^{2}$ . Это делается для того, чтобы в скобках осталось одно и то же выражение — в данном случае $(16 a - 5 c)$ .

Шаг 3: Вынесение общего многочлена

Когда мы получили одинаковые выражения в скобках, мы рассматриваем всю скобку как новый общий множитель. Вынося его вперед, мы получаем произведение двух многочленов, что и является целью разложения.