Номер 825 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Преобразуйте выражение в многочлен:

а) $(- 3 a + 10 b)^{2}$ ;
б) $(- 6 m - n)^{2}$ ;
в) $(8 x - 0, 3 y)^{2}$ ;

г) $(5 a + \frac{1}{15} b)^{2}$ ;
д) $(- 0, 2 p - 10 q)^{2}$ ;
е) $(0, 8 x - 0, 1 y)^{2}$ .

Краткое решение

а) $(- 3 a + 10 b)^{2} = (10 b - 3 a)^{2} =$
$= (10 b)^{2} - 2 \cdot 10 b \cdot 3 a + (3 a)^{2} = 100 b^{2} - 60 ab + 9 a^{2};$
б) $(- 6 m - n)^{2} = (6 m + n)^{2} =$
$= (6 m)^{2} + 2 \cdot 6 m \cdot n + n^{2} = 36 m^{2} + 12 mn + n^{2};$
в) $(8 x - 0, 3 y)^{2} = (8 x)^{2} - 2 \cdot 8 x \cdot 0, 3 y + (0, 3 y)^{2} =$
$= 64 x^{2} - 4, 8 x y + 0, 09 y^{2};$
г) $(5 a + \frac{1}{15} b)^{2} = (5 a)^{2} + 2 \cdot 5 a \cdot \frac{1}{15} b + (\frac{1}{15} b)^{2} =$
$= 25 a^{2} + \frac{2}{3} ab + \frac{1}{225} b^{2};$
д) $(- 0, 2 p - 10 q)^{2} = (0, 2 p + 10 q)^{2} =$
$= (0, 2 p)^{2} + 2 \cdot 0, 2 p \cdot 10 q + (10 q)^{2} = 0, 04 p^{2} + 4 pq + 100 q^{2};$
е) $(0, 8 x - 0, 1 y)^{2} = (0, 8 x)^{2} - 2 \cdot 0, 8 x \cdot 0, 1 y + (0, 1 y)^{2} =$
$= 0, 64 x^{2} - 0, 16 x y + 0, 01 y^{2} .$

Подробное решение

💡 Работа со знаками

Для упрощения преобразований используйте тождества:
1. $(- a - b)^{2} = (a + b)^{2}$ — если оба знака минус, заменяйте их на плюс.
2. $(- a + b)^{2} = (b - a)^{2}$ — если минус стоит только перед первым членом, поменяйте слагаемые местами.

Подробный разбор решения

Разбор пункта б)

Выражение $(- 6 m - n)^{2}$ содержит два минуса. Согласно свойству квадрата, мы можем изменить знаки у обоих слагаемых одновременно: $(6 m + n)^{2}$ .
Далее возводим по формуле квадрата суммы:

Квадрат первого: $(6 m)^{2} = 36 m^{2}$ ;
Удвоенное произведение: $2 \cdot 6 m \cdot n = 12 mn$ ;
Квадрат второго: $n^{2}$ .

Итого: $36 m^{2} + 12 mn + n^{2}$ .

Разбор пункта г)

При возведении в квадрат суммы $(5 a + \frac{1}{15} b)^{2}$ внимательно считаем средний член:

2 \cdot 5 a \cdot \frac{1}{15} b = 10 a \cdot \frac{1}{15} b = \frac{10}{15} ab = \frac{2}{3} ab .

Квадрат второго члена: $(\frac{1}{15} b)^{2} = \frac{1}{225} b^{2}$ .