Номер 818 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Проверьте, что равенство $n^{2} + (n + 2)^{2} + (n + 9)^{2} = (n - 1)^{2} + (n + 5)^{2} + (n + 7)^{2} + 10$ верно при $n = 3$ . Покажите, что это равенство верно при любом $n$ .

Краткое решение

a) n^{2} + (n + 2)^{2} + (n + 9)^{2} = (n - 1)^{2} + (n + 5)^{2} + (n + 7)^{2} + 10

При $n = 3$ :

3^{2} + (3 + 2)^{2} + (3 + 9)^{2} = 9 + 5^{2} + 1 2^{2} = 9 + 25 + 144 = 178.

(3 - 1)^{2} + (3 + 5)^{2} + (3 + 7)^{2} + 10 = 2^{2} + 8^{2} + 1 0^{2} + 10 = 4 + 64 + 100 + 10 = 178.

$178 = 178$ — верно.

б) 1) $n^{2} + (n + 2)^{2} + (n + 9)^{2} =$

= n^{2} + (n^{2} + 4 n + 4) + (n^{2} + 18 n + 81) =

= n^{2} + n^{2} + 4 n + 4 + n^{2} + 18 n + 81 =

= 3 n^{2} + 22 n + 85.

2) $(n - 1)^{2} + (n + 5)^{2} + (n + 7)^{2} + 10 =$

= (n^{2} - 2 n + 1) + (n^{2} + 10 n + 25) + (n^{2} + 14 n + 49) + 10 =

= n^{2} - 2 n + 1 + n^{2} + 10 n + 25 + n^{2} + 14 n + 49 + 10 =

= 3 n^{2} + (- 2 n + 10 n + 14 n) + (1 + 25 + 49 + 10) =

= 3 n^{2} + 22 n + 85.

3) $3 n^{2} + 22 n + 85 = 3 n^{2} + 22 n + 85$ — верно при любом $n$ .

Подробное решение

📚 Теория: Квадрат суммы и разности

Для доказательства тождеств мы используем формулы:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Равенство считается доказанным, если после упрощения обе части выражения стали идентичными.

Подробный разбор решения

Часть 1: Числовая проверка

Для проверки при $n = 3$ мы просто подставляем это число в обе части равенства. В левой части получаем сумму квадратов чисел 3, 5 и 12, которая равна 178. В правой части — сумму квадратов 2, 8, 10 и число 10, что также дает 178. Поскольку 178 = 178, равенство при $n = 3$ подтверждено.

Часть 2: Доказательство тождества

Чтобы показать, что равенство верно для любого $n$ , нужно преобразовать его буквенные части.

Раскрытие левой части: Возводим в квадрат $(n + 2)$ и $(n + 9)$ . Складываем три полученных многочлена. Коэффициенты при $n^{2}$ суммируются в 3, при $n$ — в 22, а свободные числа — в 85.
Раскрытие правой части: Используем формулу квадрата разности для первой скобки и квадрата суммы для остальных. После приведения подобных слагаемых мы получаем точно такое же выражение: $3 n^{2} + 22 n + 85$ .

Так как обе части выражения после упрощения совпали, тождество считается доказанным.