Номер 817 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

С помощью рисунка 86 разъясните геометрический смысл формулы $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ для положительных $a$ и $b$ , удовлетворяющих условию $a > b$ .

Краткое решение

Геометрическое обоснование:

1. Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^{2}$ .

2. Чтобы получить площадь квадрата со стороной $(a - b)$ , нужно из площади $a^{2}$ вычесть два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ .

3. При этом маленький квадрат со стороной $b$ в углу вычитается дважды. Чтобы восстановить верность равенства, его нужно один раз прибавить обратно: $b^{2}$ .

Итог: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .

Подробное решение

💡 Суть доказательства

Геометрический смысл формул сокращенного умножения заключается в представлении площадей сложных фигур через сумму или разность площадей простых фигур (квадратов и прямоугольников).

Разбор геометрической модели (Рис. 86)

1. Построение фигуры

Рассмотрим квадрат со стороной $a$ . Его площадь равна $a^{2}$ . Нам нужно найти площадь внутреннего квадрата со стороной $a - b$ .

2. Процесс вычитания

Для выделения квадрата $(a - b)^{2}$ мы отрезаем от большого квадрата две полоски (прямоугольника) шириной $b$ и длиной $a$ .

Площадь первой полоски: $ab$ .
Площадь второй полоски: $ab$ .

3. Компенсация наложения

Заметим, что в углу большого квадрата полоски пересекаются. Это означает, что маленький квадрат со стороной $b$ (площадью $b^{2}$ ) мы вычли дважды. Чтобы результат был корректным, нам нужно один раз добавить эту лишнюю вычтенную площадь обратно.

Таким образом, площадь искомого квадрата: $S = a^{2} - ab - ab + b^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .