Найдите корень уравнения:
а)
(x−5)2−x2=3;
в)
9x2−1−(3x−2)2=0;
б)
(2y+1)2−4y2=5;
г)
x+(5x+2)2=25(1+x2).
Краткое решение
а)(x−5)2−x2=3 x2−10x+25−x2=3 −10x=3−25 −10x=−22⟹x=2,2. б)(2y+1)2−4y2=5 4y2+4y+1−4y2=5 4y=4⟹y=1. в)9x2−1−(3x−2)2=0 9x2−1−(9x2−12x+4)=0 9x2−1−9x2+12x−4=0 12x=5⟹x=125. г)x+(5x+2)2=25(1+x2) x+25x2+20x+4=25+25x2 21x+4=25 21x=21⟹x=1. Подробное решение
📚 Теория для решения
При решении уравнений мы используем формулы квадрата суммы и разности. Основная цель — раскрыть скобки и сгруппировать неизвестные слагаемые в одной части уравнения, а числовые — в другой. Если в уравнении остаются x2 с одинаковыми коэффициентами в разных частях, они сокращаются.
Максимально подробный разбор нахождения корней
Разбор уравнения в)
1. Раскрытие квадрата разности:
Для выражения (3x−2)2 получаем: (3x)2−2⋅3x⋅2+22=9x2−12x+4.
2. Раскрытие скобок с учётом знака «минус»:
9x2−1−(9x2−12x+4)=0⟹9x2−1−9x2+12x−4=0.
Здесь знаки 9x2, −12x и 4 сменились на противоположные.
3. Группировка:
9x2 и −9x2 сокращаются.
−1−4+12x=0⟹12x−5=0⟹12x=5.
Корень уравнения: x=125.
Разбор уравнения г)
1. Преобразование левой части:
Раскрываем (5x+2)2=25x2+20x+4.
Прибавляем одиночный x: 25x2+21x+4.
2. Преобразование правой части:
Распределительный закон: 25(1+x2)=25+25x2.
3. Сведение к линейному виду:
25x2+21x+4=25+25x2.
Вычитаем 25x2 из обеих частей. Остаётся: 21x+4=25.
21x=21⟹x=1.
