Номер 844 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Пользуясь формулой куба разности, преобразуйте в многочлен выражение:

а)

(b - 4)^{3}

;

б)

(1 - 2 c)^{3}

;

в)

(2 a - 3)^{3}

Краткое решение

а)

(b - 4)^{3} = b^{3} - 3 \cdot b^{2} \cdot 4 + 3 \cdot b \cdot 4^{2} - 4^{3} =

= b^{3} - 12 b^{2} + 3 \cdot b \cdot 16 - 64 = b^{3} - 12 b^{2} + 48 b - 64.

б)

(1 - 2 c)^{3} = 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} \cdot 2 c + 3 \cdot 1 \cdot (2 c)^{2} - (2 c)^{3} =

= 1 - 6 c + 3 \cdot 4 c^{2} - 8 c^{3} = 1 - 6 c + 12 c^{2} - 8 c^{3} .

в)

(2 a - 3)^{3} = (2 a)^{3} - 3 \cdot (2 a)^{2} \cdot 3 + 3 \cdot 2 a \cdot 3^{2} - 3^{3} =

= 8 a^{3} - 3 \cdot 4 a^{2} \cdot 3 + 6 a \cdot 9 - 27 = 8 a^{3} - 36 a^{2} + 54 a - 27.

При возведении в куб разности знаки перед слагаемыми чередуются (+, –, +, –):

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Важно внимательно следить за знаками и степенями двоек в коэффициентах.

1. Возводим в куб первое число: $1^{3} = 1$ .
2. Находим первое утроенное произведение: $3 \cdot 1^{2} \cdot 2 c = 3 \cdot 1 \cdot 2 c = 6 c$ . Перед этим слагаемым ставим знак «минус».
3. Находим второе утроенное произведение: $3 \cdot 1 \cdot (2 c)^{2} = 3 \cdot 1 \cdot 4 c^{2} = 12 c^{2}$ . Перед этим слагаемым ставим знак «плюс».
4. Возводим в куб второе выражение: $(2 c)^{3} = 8 c^{3}$ . Перед ним ставим «минус».

Итоговый результат: $1 - 6 c + 12 c^{2} - 8 c^{3}$ .

Здесь $a = 2 a$ , а $b = 3$ .

Рассчитаем коэффициенты пошагово:

$(2 a)^{3} = 8 a^{3}$ (куб первого).
$3 \cdot (2 a)^{2} \cdot 3 = 3 \cdot 4 a^{2} \cdot 3 = 36 a^{2}$ (утроенное произведение с квадратом $2 a$ ).
$3 \cdot 2 a \cdot 3^{2} = 3 \cdot 2 a \cdot 9 = 54 a$ (утроенное произведение с квадратом 3).
$3^{3} = 27$ (куб второго).

Соединяем с учетом знаков: $8 a^{3} - 36 a^{2} + 54 a - 27$ .