Преобразуйте трёхчлен в квадрат двучлена:
а)
81a2−18ab+b2;
г)
100x2+y2+20xy;
б)
1+y2−2y;
д)
b2+4a2−4ab;
в)
8ab+b2+16a2;
е)
28xy+49x2+4y2.
Краткое решение
а)
81a2−18ab+b2=(9a)2−2⋅9a⋅b+b2=(9a−b)2; б)
1+y2−2y=12−2⋅1⋅y+y2=(1−y)2; в)
8ab+b2+16a2=16a2+8ab+b2=(4a)2+2⋅4a⋅b+b2=(4a+b)2; г)
100x2+y2+20xy=(10x)2+2⋅10x⋅y+y2=(10x+y)2; д)
b2+4a2−4ab=4a2−4ab+b2=(2a)2−2⋅2a⋅b+b2=(2a−b)2; е)
28xy+49x2+4y2=(7x)2+2⋅7x⋅2y+(2y)2=(7x+2y)2. Подробное решение
📚 Правило: Как свернуть трёхчлен
Чтобы представить трёхчлен в виде квадрата двучлена, нужно выполнить три шага:
- Найти два слагаемых, которые являются квадратами выражений.
- Проверить, является ли оставшееся слагаемое их удвоенным произведением.
- Записать результат в скобках, выбрав знак (+ или –) по знаку удвоенного произведения.
Развернутый пошаговый разбор каждого пункта
Разбор пункта в): 8ab+b2+16a2
В этом примере слагаемые расположены не по порядку. Сначала переставим их так, чтобы квадраты были по краям, а произведение — в центре:
16a2+8ab+b2.
- Находим основания: 16a2 — это (4a)2, а b2 — это (b)2.
- Проверяем середину: 2⋅4a⋅b=8ab. Значение совпадает с условием.
- Записываем ответ: Так как перед 8ab стоит знак «+», получаем квадрат суммы: (4a+b)2.
Разбор пункта д): b2+4a2−4ab
Упорядочим слагаемые: 4a2−4ab+b2.
- Основания: 4a2=(2a)2 и b2=(b)2.
- Проверка: Удвоенное произведение 2⋅2a⋅b=4ab.
- Знак: Перед 4ab стоит минус, значит используем формулу квадрата разности: (2a−b)2.
Разбор пункта е): 28xy+49x2+4y2
1. Перестановка: 49x2+28xy+4y2.
2. Выделение квадратов: 49x2=(7x)2 и 4y2=(2y)2.
3. Проверка: 2⋅7x⋅2y=14x⋅2y=28xy. Всё верно.
4. Итог: (7x+2y)2.
