Верно ли, что при любых значениях x:
- а) x2+10>0;
- б) x2+20x+100>0?
Краткое решение
а) x2+10>0
x2+10≥10⟹x2+10>0. Ответ: верно.
б) x2+20x+100>0
x2+2⋅x⋅10+102=(x+10)2 (x+10)2≥0 При x=−10: (−10+10)2=0. Равенство 0>0 неверно.
Ответ: неверно.
Подробное решение
📚 Свойства квадрата выражения
Для решения таких задач важно помнить:
- Квадрат любого числа или выражения всегда неотрицателен: A2≥0.
- Если к квадрату прибавить положительное число, результат всегда будет строго больше нуля.
- Выражение (x+a)2 может быть равно нулю (при x=−a), поэтому оно не всегда строго больше нуля.
Развернутый пошаговый разбор
Разбор пункта а): x2+10>0
1. Из свойств степеней мы знаем, что x2 никогда не может быть отрицательным числом. То есть x2≥0 при любом x.
2. Если мы прибавим к числу, которое больше или равно 0, число 10, то минимально возможное значение всей суммы будет равно 10 (когда x=0).
3. Так как 10 всегда больше 0, то и всё выражение x2+10 всегда будет строго больше нуля. Утверждение верно.
Разбор пункта б): x2+20x+100>0
1. Заметим, что данный трёхчлен можно свернуть в квадрат суммы: x2+2⋅x⋅10+102=(x+10)2.
2. Любой квадрат A2≥0. Это означает, что выражение может принимать значения больше нуля или равняться нулю.
3. Найдем значение x, при котором выражение равно нулю:
x+10=0⟹x=−10.
4. В условии сказано «при любых значениях x». Но при x=−10 выражение становится равным нулю, а не строго больше нуля. Значит, утверждение неверно для всех случаев.
