Преобразуйте выражение в квадрат двучлена:
а)
x4−8x2y2+16y4;
в)
41a2+2ab2+4b4;
б)
161x4+2x2a+16a2;
г)
a2x2−2abx+b2.
Краткое решение
а)x4−8x2y2+16y4= =(x2)2−2⋅x2⋅4y2+(4y2)2=(x2−4y2)2. б)161x4+2x2a+16a2= =(41x2)2+2⋅41x2⋅4a+(4a)2=(41x2+4a)2. в)41a2+2ab2+4b4= =(21a)2+2⋅21a⋅2b2+(2b2)2=(21a+2b2)2. г)a2x2−2abx+b2= =(ax)2−2⋅ax⋅b+b2=(ax−b)2. Подробное решение
📚 Правила работы со степенями
При сворачивании трёхчленов с высокими степенями используйте следующие свойства:
- Степень степени: (xn)m=xn⋅m. Например, x4=(x2)2.
- Произведение в степени: (ab)n=anbn. Например, 16y4=(4y2)2.
- Всегда проверяйте удвоенное произведение 2AB перед записью окончательного ответа.
Развернутый пошаговый разбор решения
Разбор пункта а): x4−8x2y2+16y4
1. Находим основания квадратов. Четвёртая степень x4 — это (x2)2. Выражение 16y4 — это (4y2)2 (так как 42=16 и (y2)2=y4).
2. Проверяем средний член: он должен быть равен 2⋅x2⋅4y2=8x2y2. Условие выполняется.
3. Так как перед удвоенным произведением стоит «минус», используем формулу квадрата разности. Результат: (x2−4y2)2.
Разбор пункта б): работа с коэффициентами
1. Коэффициент 1/16 — это квадрат 1/4. Значит, первое основание равно 1/4x2.
2. Второе основание находим из 16a2, это 4a.
3. Проверка удвоенного произведения: 2⋅1/4x2⋅4a=1/2x2⋅4a=2x2a. Всё верно.
4. Итоговый вид: (1/4x2+4a)2.
Разбор пункта г): произведение под степенью
В выражении a2x2−2abx+b2 первый член можно представить как (ax)2. Удвоенное произведение тогда равно 2⋅(ax)⋅b=2abx. Это в точности соответствует условию. Ответ: (ax−b)2.
