Номер 890 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Этап 1: Численная проверка

Возьмем числа 19, 20 и 21. Их произведение: $19 \cdot 20 \cdot 21 = 7980$. Прибавим среднее число 20: $7980 + 20 = 8000$. Проверим куб среднего: $20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$. Равенство верно.

Этап 2: Алгебраическое доказательство (вариант А)

Пусть $p$ — среднее число. Тогда числа запишутся как $(p-1)$, $p$ и $(p+1)$.

Составим выражение: $p(p-1)(p+1) + p$.

Группа $(p-1)(p+1)$ — это разность квадратов $p^2 - 1$. Получаем: $p(p^2 - 1) + p = p^3 - p + p = p^3$. Утверждение доказано самым быстрым способом.

Этап 3: Алгебраическое доказательство (вариант Б)

Пусть $p$ — наименьшее число. Числа: $p$, $p+1$, $p+2$.

Выражение: $p(p+1)(p+2) + (p+1)$. Вынесем общий множитель $(p+1)$ за скобку:
$(p+1) \cdot [p(p+2) + 1] = (p+1)(p^2 + 2p + 1)$.

Выражение во второй скобке — это квадрат суммы: $(p+1)^2$. Итого: $(p+1) \cdot (p+1)^2 = (p+1)^3$. Мы получили куб среднего числа ($p+1$).

Сравнение сложности

Первый способ (через среднее число) значительно проще, так как формула разности квадратов позволяет избежать громоздкого вынесения за скобки и сворачивания квадрата суммы.