Номер 890 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.

Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.
Составьте выражение, обозначив через $p$ одно из этих чисел, и выполните преобразование. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через $p$ наименьшее из чисел, а другому — среднее из чисел.
Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.

Краткое решение

1) $(19 \cdot 20 \cdot 21) + 20 =$

$= 7980 + 20 = 8000$

$20^3 = 8000.$

2) Пусть $p$ — наименьшее число, тогда числа $p, \ p + 1, \ p + 2$ .

p \cdot (p + 1) \cdot (p + 2) + (p + 1) =

= (p^2 + p)(p + 2) + p + 1 =

= p^3 + 2p^2 + p^2 + 2p + p + 1 =

= p^3 + 3p^2 + 3p + 1 = (p + 1)^3.

Пусть $p$ — среднее число, тогда числа $p - 1, \ p, \ p + 1$ .

(p - 1)p(p + 1) + p =

= p(p - 1)(p + 1) + p =

= p(p^2 - 1) + p =

= p^3 - p + p = p^3.

3) В обоих случаях получаем куб среднего: $(p + 1)^3$ или $p^3$ .

Подробное решение

📚 Обозначение последовательных чисел

При доказательстве свойств последовательных чисел выбор переменной влияет на сложность счета:

Через наименьшее: $n, n+1, n+2$ .
Через среднее: $n-1, n, n+1$ . Это удобнее, так как крайние числа образуют разность квадратов.

Подробный разбор этапов задачи

Этап 1: Численная проверка

Возьмем числа 19, 20 и 21. Их произведение: $19 \cdot 20 \cdot 21 = 7980$ . Прибавим среднее число 20: $7980 + 20 = 8000$ . Проверим куб среднего: $20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$ . Равенство верно.

Этап 2: Алгебраическое доказательство (вариант А)

Пусть $p$ — среднее число. Тогда числа запишутся как $(p-1)$ , $p$ и $(p+1)$ .

Составим выражение: $p(p-1)(p+1) + p$ .

Группа $(p-1)(p+1)$ — это разность квадратов $p^2 - 1$ . Получаем: $p(p^2 - 1) + p = p^3 - p + p = p^3$ . Утверждение доказано самым быстрым способом.

Этап 3: Алгебраическое доказательство (вариант Б)

Пусть $p$ — наименьшее число. Числа: $p$ , $p+1$ , $p+2$ .

Выражение: $p(p+1)(p+2) + (p+1)$ . Вынесем общий множитель $(p+1)$ за скобку:
$(p+1) \cdot [p(p+2) + 1] = (p+1)(p^2 + 2p + 1)$ .

Выражение во второй скобке — это квадрат суммы: $(p+1)^2$ . Итого: $(p+1) \cdot (p+1)^2 = (p+1)^3$ . Мы получили куб среднего числа ( $p+1$ ).

Сравнение сложности

Первый способ (через среднее число) значительно проще, так как формула разности квадратов позволяет избежать громоздкого вынесения за скобки и сворачивания квадрата суммы.