Номер 895 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите тождество:

а) $(a + b)^{2} - 4 ab = (a - b)^{2};$

б) $(a - b)^{2} + 4 ab = (a + b)^{2};$

в) $(x + 3)^{3} + (x - 3)^{3} = 2 x^{3} + 54 x .$

Краткое решение

а) Преобразуем левую часть:

(a + b)^{2} - 4 ab =

= a^{2} + 2 ab + b^{2} - 4 ab =

= a^{2} - 2 ab + b^{2} =

= (a - b)^{2} .

$(a - b)^{2} = (a - b)^{2}$ — тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

(a - b)^{2} + 4 ab =

= a^{2} - 2 ab + b^{2} + 4 ab =

= a^{2} + 2 ab + b^{2} =

= (a + b)^{2} .

$(a + b)^{2} = (a + b)^{2}$ — тождество доказано.

в) Преобразуем левую часть:

(x + 3)^{3} + (x - 3)^{3} =

= (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27) + (x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27) =

= 2 x^{3} + 54 x .

$2 x^{3} + 54 x = 2 x^{3} + 54 x$ — тождество доказано.

Тождество — это равенство, верное при любых значениях переменных. Чтобы его доказать:

1. Раскроем квадрат суммы в левой части: $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .

2. Запишем выражение целиком: $a^{2} + 2 ab + b^{2} - 4 ab$ .

3. Приведем подобные слагаемые: $2 ab - 4 ab = - 2 ab$ . Получаем $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .

4. Это выражение является формулой квадрата разности: $(a - b)^{2}$ . Левая часть совпала с правой.

1. Воспользуемся формулами куба суммы и куба разности:

$(x + 3)^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^{2} + 3^{3} = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ ;
$(x - 3)^{3} = x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^{2} - 3^{3} = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ .

2. Складываем результаты: $x^{3} + x^{3}$ дает $2 x^{3}$ , а $9 x^{2} - 9 x^{2}$ и $27 - 27$ взаимно уничтожаются.

3. Складываем $27 x + 27 x = 54 x$ . Итого: $2 x^{3} + 54 x$ .