Разложите на множители многочлен:
- а) x3+y3;
- б) m3−n3;
- в) 8+a3;
- г) 27−y3;
- д) t3+1;
- е) 1−c3.
Краткое решение
а) x3+y3=
=(x+y)(x2−xy+y2); б) m3−n3=
=(m−n)(m2+mn+n2); в) 8+a3=23+a3=
=(2+a)(22−2a+a2)= =(2+a)(4−2a+a2); г) 27−y3=33−y3=
=(3−y)(32+3y+y2)= =(3−y)(9+3y+y2); д) t3+1=t3+13=
=(t+1)(t2−t+1); е) 1−c3=13−c3=
=(1−c)(1+c+c2); Подробное решение
📚 Формулы кубов
Для разложения на множители используются следующие формулы:
- Сумма кубов: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2).
- Разность кубов: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2).
- Выражения a2∓ab+b2 называют неполным квадратом разности или суммы.
Развернутый пошаговый разбор всех пунктов
Разбор пунктов а) и б)
Это базовое применение формул в чистом виде.
При сложении кубов первая скобка содержит плюс, а средний член второй скобки — минус. При вычитании кубов — наоборот.
Разбор пункта в): 8+a3
1. Представим число 8 как куб тройки: 8=23.
2. Применяем формулу суммы кубов для оснований 2 и a: (2+a)(22−2⋅a+a2).
3. Итог: (2+a)(4−2a+a2).
Разбор пункта г): 27−y3
1. Представим 27 как куб: 27=33.
2. Применяем формулу разности кубов: (3−y)(32+3⋅y+y2).
3. Итог: (3−y)(9+3y+y2).
Разбор пунктов д) и е)
Число 1 является кубом самого себя: 1=13.
Поэтому пункт д раскладывается как сумма кубов t и 1, а пункт е — как разность кубов 1 и c.
