Номер 916 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

(Задача-исследование.) Верно ли утверждение: если $p$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $p^{2} - 1$ кратно 12?

Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.
Разложите многочлен $p^{2} - 1$ на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.
Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.
Сделайте вывод.

Краткое решение

1) Примеры:

Если $p = 5$ , то:

5^{2} - 1 = 25 - 1 = 24,

24 : 12 = 2.

Если $p = 7$ , то:

7^{2} - 1 = 49 - 1 = 48,

48 : 12 = 4.

Если $p = 11$ , то:

1 1^{2} - 1 = 121 - 1 = 120,

120 : 12 = 10.

2) $p^{2} - 1 = (p - 1) (p + 1)$

Так как $p > 3$ — простое, оно нечётное. Тогда числа $p - 1$ и $p + 1$ оба чётные и одно из них делится на 4. Значит, их произведение делится на 8 и, следовательно, на 4.

3) Делимость на 3:

Среди трёх последовательных чисел $p - 1$ , $p$ , $p + 1$ одно делится на 3. Поскольку $p > 3$ — простое, оно на 3 не делится. Значит, на 3 делится либо $p - 1$ , либо $p + 1$ .

4) Вывод:

Выражение делится на 4 и на 3, значит, оно кратно $4 \cdot 3 = 12$ . Утверждение верно.

Подробное решение

📚 Свойства простых чисел и делимости

Для исследования делимости на 12 используйте следующие факты:

Число кратно 12, если оно одновременно делится на 3 и на 4.
Все простые числа больше 2 являются нечётными.
Произведение двух последовательных чётных чисел всегда делится на 8.
Из трёх последовательных целых чисел ровно одно кратно 3.

Подробный разбор всех этапов исследования

Этап 1: Проверка на примерах

Возьмём простое число $p = 13$ (большее 3).
$1 3^{2} - 1 = 169 - 1 = 168$ . Проверим делимость: $168 : 12 = 14$ . Утверждение подтверждается.

Этап 2: Анализ произведения четных чисел

Разложим по формуле: $p^{2} - 1 = (p - 1) (p + 1)$ .
Любое простое число больше 3 является нечётным. Значит, числа, стоящие до него ( $p - 1$ ) и после него ( $p + 1$ ), — чётные. Из двух соседних чётных чисел одно обязательно делится на 4. Таким образом, произведение $(p - 1) (p + 1)$ делится на $2 \cdot 4 = 8$ , а значит и на 4.

Этап 3: Анализ кратности 3

Рассмотрим три последовательных числа: $p - 1$ , $p$ , $p + 1$ . Одно из них всегда кратно 3. Поскольку $p$ — простое число больше 3, оно не может делиться на 3 без остатка. Значит, на 3 делится либо множитель $p - 1$ , либо множитель $p + 1$ .

Этап 4: Итоговое заключение

Так как выражение $p^{2} - 1$ одновременно делится на 3 и на 4, и эти числа являются взаимно простыми, то значение выражения всегда будет делиться на их произведение: $3 \cdot 4 = 12$ .