Номер 929 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что значение выражения:

а) $32 7^{3} + 17 3^{3}$ делится на 500;
б) $73 1^{3} - 63 1^{3}$ делится на 100;

в) $21 1^{3} + 12 9^{3}$ делится на 17;
г) $35 6^{3} - 24 5^{3}$ делится на 3.

Краткое решение

а) $32 7^{3} + 17 3^{3} =$

= (327 + 173) (32 7^{2} - 327 \cdot 173 + 17 3^{2}) =

= 500 \cdot (32 7^{2} - 327 \cdot 173 + 17 3^{2}) .

Множитель 500 делится на 500, значит и всё выражение делится на 500.

б) $73 1^{3} - 63 1^{3} =$

= (731 - 631) (73 1^{2} + 731 \cdot 631 + 63 1^{2}) =

= 100 \cdot (73 1^{2} + 731 \cdot 631 + 63 1^{2}) .

Выражение кратно 100.

в) $21 1^{3} + 12 9^{3} =$

= (211 + 129) (21 1^{2} - 211 \cdot 129 + 12 9^{2}) =

= 340 \cdot (21 1^{2} - 211 \cdot 129 + 12 9^{2}) .

Так как $340 : 17 = 20$ , то всё произведение делится на 17.

г) $35 6^{3} - 24 5^{3} =$

= (356 - 245) (35 6^{2} + 356 \cdot 245 + 24 5^{2}) =

= 111 \cdot (35 6^{2} + 356 \cdot 245 + 24 5^{2}) .

Так как $111 : 3 = 37$ , выражение делится на 3.

Подробное решение

📚 Доказательство делимости

Алгоритм решения таких задач:

Примените формулу суммы или разности кубов: $a^{3} \pm b^{3}$ .
Вычислите значение в первой скобке (сумму или разность оснований).
Если полученное число делится на заданный делитель, то и всё произведение делится на него.

Развернутый пошаговый разбор доказательств

Разбор пункта а): делимость на 500

Используем формулу суммы кубов: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .

Для нашего выражения: $(327 + 173) (32 7^{2} - 327 \cdot 173 + 17 3^{2})$ .

Сумма в первой скобке: $327 + 173 = 500$ . Поскольку один из множителей равен 500, всё произведение делится на 500 нацело.

Разбор пункта в): делимость на 17

Разложим сумму кубов: $(211 + 129) (21 1^{2} - 211 \cdot 129 + 12 9^{2})$ .

Первый множитель равен 340. Проверим, делится ли 340 на 17:

340 : 17 = 20.

Так как число 340 кратно 17, то и всё исходное выражение кратно 17.

Разбор пункта г): делимость на 3

Применим разность кубов: $(356 - 245) (35 6^{2} + 356 \cdot 245 + 24 5^{2})$ .

Разность оснований: $356 - 245 = 111$ .

По признаку делимости: сумма цифр числа 111 ( $1 + 1 + 1 = 3$ ) делится на 3, значит и само число 111 делится на 3 ( $111 : 3 = 37$ ). Утверждение доказано.