Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:
- а) 8x3−1;
- б) 1+27y3;
- в) 8−81a3;
- г) 641m3+1000;
- д) 125a3−64b3;
- е) 271x3+1251y3.
Краткое решение
а) 8x3−1=(2x)3−13=
=(2x−1)((2x)2+2x⋅1+12)=
=(2x−1)(4x2+2x+1);
б) 1+27y3=13+(3y)3=
=(1+3y)(12−1⋅3y+(3y)2)=
=(1+3y)(1−3y+9y2);
в) 8−81a3=23−(21a)3=
=(2−21a)(22+2⋅21a+(21a)2)=
=(2−21a)(4+a+41a2);
г) 641m3+1000=(41m)3+103=
=(41m+10)((41m)2−10⋅41m+102)=
=(41m+10)(161m2−2,5m+100);
д) 125a3−64b3=(5a)3−(4b)3=
=(5a−4b)((5a)2+5a⋅4b+(4b)2)=
=(5a−4b)(25a2+20ab+16b2);
е) 271x3+1251y3=(31x)3+(51y)3=
=(31x+51y)((31x)2−31x⋅51y+(51y)2)=
=(31x+51y)(91x2−151xy+251y2).
Подробное решение
📚 Сумма и разность кубов
При разложении на множители ориентируйтесь на формулы:
- Сумма кубов: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2).
- Разность кубов: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2).
- Важно: во второй скобке стоит неполный квадрат. Это значит, что перед произведением ab нет двойки.
Развернутый пошаговый разбор всех пунктов
Разбор пункта в): работа с дробью
1. Число 8 — это куб двойки.
2. Для дроби 1:8 кубом будет число 1:2, так как 23=8. Значит, 81a3=(21a)3.
3. Применяем разность кубов: перемножаем разность оснований (2−21a) на неполный квадрат суммы.
Итог: (2−21a)(4+a+41a2).
Разбор пункта г): 641m3+1000
1. Представим 1:64 как (1:4)3, а 1000 — как 103.
2. Применяем формулу суммы кубов.
3. В неполном квадрате произведение 10⋅41m дает 2,5m.
Итог: (41m+10)(161m2−2,5m+100).
Разбор пункта е): произведение двух дробей
1. Выделяем основания: 1:27 — это (1:3)3, а 1:125 — это (1:5)3.
2. В неполном квадрате разности произведение составит 31x⋅51y=151xy.
Итог: (31x+51y)(91x2−151xy+251y2).
