Номер 915 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

На сторонах прямоугольника построены квадраты (рис. 88). Площадь одного квадрата на 95 см² больше площади другого. Найдите периметр прямоугольника, если известно, что длина прямоугольника на 5 см больше его ширины.

Краткое решение

Пусть $x$ см — ширина, тогда $(x + 5)$ см — длина.

(x + 5)^{2} - x^{2} = 95

x^{2} + 10 x + 25 - x^{2} = 95

10 x = 95 - 25

10 x = 70

x = 7 (см) — ширина

7 + 5 = 12 (см) — длина

P = 2 \cdot (7 + 12) = 2 \cdot 19 = 38 (см) .

Ответ: 38 см.

Подробное решение

📚 Геометрические формулы

Для решения задачи используются базовые свойства фигур:

Площадь квадрата со стороной $a$ : $S = a^{2}$ .
Периметр прямоугольника: $P = 2 (a + b)$ , где $a$ и $b$ — его стороны.
Формула квадрата суммы: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .

Подробный разбор решения задачи

1. Введение переменных

Обозначим ширину исходного прямоугольника через $x$ см.
По условию, длина на 5 см больше, значит она равна $(x + 5)$ см.

2. Анализ площадей квадратов

На сторонах прямоугольника построены квадраты.
Сторона первого квадрата равна длине прямоугольника ( $x + 5$ ), его площадь: $S_{1} = (x + 5)^{2}$ .
Сторона второго квадрата равна ширине ( $x$ ), его площадь: $S_{2} = x^{2}$ .

3. Составление и решение уравнения

Разность площадей равна 95 см²:

(x + 5)^{2} - x^{2} = 95

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:
$x^{2} + 10 x + 25 - x^{2} = 95$ .

Слагаемые $x^{2}$ и $- x^{2}$ сокращаются:
$10 x + 25 = 95 ⟹ 10 x = 70 ⟹ x = 7$ .

4. Нахождение периметра

Ширина прямоугольника: $7$ см;
Длина прямоугольника: $7 + 5 = 12$ см;
Периметр: $P = 2 \cdot (7 + 12) = 38$ см.

Ответ: 38 см.