Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 923

Номер 923 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:

  • а) 8x3−18x^3 - 1;
  • б) 1+27y31 + 27y^3;
  • в) 8−18a38 - \frac{1}{8}a^3;
  • г) 164m3+1000\frac{1}{64}m^3 + 1000;
  • д) 125a3−64b3125a^3 - 64b^3;
  • е) 127x3+1125y3\frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{125}y^3.

Краткое решение

а) 8x3−1=(2x)3−13=8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 =

=(2x−1)((2x)2+2x⋅1+12)== (2x - 1)((2x)^2 + 2x \cdot 1 + 1^2) =
=(2x−1)(4x2+2x+1);= (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1);

б) 1+27y3=13+(3y)3=1 + 27y^3 = 1^3 + (3y)^3 =

=(1+3y)(12−1⋅3y+(3y)2)== (1 + 3y)(1^2 - 1 \cdot 3y + (3y)^2) =
=(1+3y)(1−3y+9y2);= (1 + 3y)(1 - 3y + 9y^2);

в) 8−18a3=23−(12a)3=8 - \frac{1}{8}a^3 = 2^3 - (\frac{1}{2}a)^3 =

=(2−12a)(22+2⋅12a+(12a)2)== (2 - \frac{1}{2}a)(2^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2) =
=(2−12a)(4+a+14a2);= (2 - \frac{1}{2}a)(4 + a + \frac{1}{4}a^2);

г) 164m3+1000=(14m)3+103=\frac{1}{64}m^3 + 1000 = (\frac{1}{4}m)^3 + 10^3 =

=(14m+10)((14m)2−10⋅14m+102)== (\frac{1}{4}m + 10)((\frac{1}{4}m)^2 - 10 \cdot \frac{1}{4}m + 10^2) =
=(14m+10)(116m2−2,5m+100);= (\frac{1}{4}m + 10)(\frac{1}{16}m^2 - 2,5m + 100);

д) 125a3−64b3=(5a)3−(4b)3=125a^3 - 64b^3 = (5a)^3 - (4b)^3 =

=(5a−4b)((5a)2+5a⋅4b+(4b)2)== (5a - 4b)((5a)^2 + 5a \cdot 4b + (4b)^2) =
=(5a−4b)(25a2+20ab+16b2);= (5a - 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2);

е) 127x3+1125y3=(13x)3+(15y)3=\frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{125}y^3 = (\frac{1}{3}x)^3 + (\frac{1}{5}y)^3 =

=(13x+15y)((13x)2−13x⋅15y+(15y)2)== (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)((\frac{1}{3}x)^2 - \frac{1}{3}x \cdot \frac{1}{5}y + (\frac{1}{5}y)^2) =
=(13x+15y)(19x2−115xy+125y2).= (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{15}xy + \frac{1}{25}y^2).

Подробное решение

📚 Сумма и разность кубов

При разложении на множители ориентируйтесь на формулы:

  • Сумма кубов: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).
  • Разность кубов: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).
  • Важно: во второй скобке стоит неполный квадрат. Это значит, что перед произведением abab нет двойки.

Развернутый пошаговый разбор всех пунктов

Разбор пункта в): работа с дробью

1. Число 8 — это куб двойки.

2. Для дроби 1:81:8 кубом будет число 1:21:2, так как 23=82^3 = 8. Значит, 18a3=(12a)3\frac{1}{8}a^3 = (\frac{1}{2}a)^3.

3. Применяем разность кубов: перемножаем разность оснований (2−12a)(2 - \frac{1}{2}a) на неполный квадрат суммы.

Итог: (2−12a)(4+a+14a2)(2 - \frac{1}{2}a)(4 + a + \frac{1}{4}a^2).

Разбор пункта г): 164m3+1000\frac{1}{64}m^3 + 1000

1. Представим 1:641:64 как (1:4)3(1:4)^3, а 1000 — как 10310^3.

2. Применяем формулу суммы кубов.

3. В неполном квадрате произведение 10⋅14m10 \cdot \frac{1}{4}m дает 2,5m2,5m.

Итог: (14m+10)(116m2−2,5m+100)(\frac{1}{4}m + 10)(\frac{1}{16}m^2 - 2,5m + 100).

Разбор пункта е): произведение двух дробей

1. Выделяем основания: 1:271:27 — это (1:3)3(1:3)^3, а 1:1251:125 — это (1:5)3(1:5)^3.

2. В неполном квадрате разности произведение составит 13x⋅15y=115xy\frac{1}{3}x \cdot \frac{1}{5}y = \frac{1}{15}xy.

Итог: (13x+15y)(19x2−115xy+125y2)(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{15}xy + \frac{1}{25}y^2).

💡 Похожие номера

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...