Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 968

Номер 968 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.

Краткое решение

Пусть 2n−12n - 1 и 2n+12n + 1 — два последовательных нечётных числа (nn — целое).

(2n+1)2−(2n−1)2=(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 =
=((2n+1)−(2n−1))((2n+1)+(2n−1))== ((2n + 1) - (2n - 1))((2n + 1) + (2n - 1)) =
=(2n+1−2n+1)(2n+1+2n−1)== (2n + 1 - 2n + 1)(2n + 1 + 2n - 1) =
=2⋅4n=8n.= 2 \cdot 4n = 8n.

Так как результат 8n8n содержит множитель 8, всё выражение делится на 8 для любого целого nn.

Подробное решение

📚 Математические модели

Для доказательства свойств чисел используйте стандартные обозначения:

  • Четное число: 2n2n.
  • Нечетное число: 2n+12n + 1 или 2n−12n - 1.
  • Последовательные нечетные числа: различаются на 2 (например, 7 и 9).
  • Выражение вида k⋅nk \cdot n (где kk — число) всегда кратно числу kk при целом nn.

Подробный разбор решения

1. Запись условия буквами

Любое нечетное число можно записать как 2n+12n + 1, где nn — некоторое целое число. Следующее за ним нечетное число будет на 2 больше, то есть 2n+32n + 3.
(Для упрощения вычислений можно взять пару 2n−12n - 1 и 2n+12n + 1).

2. Применение формулы

Составим разность их квадратов: (2n+1)2−(2n−1)2(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2.
Воспользуемся формулой разности квадратов a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b):

  • Первая скобка (разность): (2n+1)−(2n−1)=2n+1−2n+1=2(2n + 1) - (2n - 1) = 2n + 1 - 2n + 1 = 2;
  • Вторая скобка (сумма): (2n+1)+(2n−1)=2n+1+2n−1=4n(2n + 1) + (2n - 1) = 2n + 1 + 2n - 1 = 4n.

3. Анализ результата

Перемножаем результаты скобок: 2⋅4n=8n2 \cdot 4n = 8n.

В полученном произведении один из множителей равен 8. Следовательно, значение всего выражения при любом целом nn будет делиться на 8 без остатка. Доказано.

💡 Похожие задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...