Номер 976 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Используя формулу четвёртой степени двучлена, преобразуйте выражение:

а) $(a^{2} + 2 b)^{4}$ ;

б) $(a^{3} - b)^{4}$ .

Краткое решение

а) $(a^{2} + 2 b)^{4} =$

= (a^{2})^{4} + 4 (a^{2})^{3} \cdot 2 b + 6 (a^{2})^{2} \cdot (2 b)^{2} + 4 a^{2} \cdot (2 b)^{3} + (2 b)^{4} =

= a^{8} + 4 a^{6} \cdot 2 b + 6 a^{4} \cdot 4 b^{2} + 4 a^{2} \cdot 8 b^{3} + 16 b^{4} =

= a^{8} + 8 a^{6} b + 24 a^{4} b^{2} + 32 a^{2} b^{3} + 16 b^{4} .

б) $(a^{3} - b)^{4} =$

= (a^{3})^{4} - 4 (a^{3})^{3} \cdot b + 6 (a^{3})^{2} \cdot b^{2} - 4 a^{3} \cdot b^{3} + b^{4} =

= a^{12} - 4 a^{9} b + 6 a^{6} b^{2} - 4 a^{3} b^{3} + b^{4} .

Для любых выражений $x$ и $y$ :

$(x + y)^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4}$
При вычитании $(x - y)^{4}$ знаки слагаемых чередуются: плюс, минус, плюс, минус, плюс.
При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ .

Применяем формулу, где первым слагаемым выступает $a^{2}$ , а вторым — $2 b$ :

Возводим $a^{2}$ в убывающие степени: $(a^{2})^{4} = a^{8}$ , $(a^{2})^{3} = a^{6}$ и т.д.
Возводим $2 b$ в возрастающие степени. Важно возводить и число, и букву: $(2 b)^{2} = 4 b^{2}$ , $(2 b)^{3} = 8 b^{3}$ .
Перемножаем полученные одночлены на коэффициенты 1, 4, 6, 4, 1.

Здесь разность, поэтому перед вторым и четвертым слагаемыми ставим минус. Первое слагаемое — $a^{3}$ , второе — $b$ :