Номер 975 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Напишите формулу:

а) седьмой степени двучлена;
б) восьмой степени двучлена.

Краткое решение

Коэффициенты (строки n=7 и n=8)

а) Седьмая степень:

(a + b)^{7} = a^{7} + 7 a^{6} b + 21 a^{5} b^{2} + 35 a^{4} b^{3} + 35 a^{3} b^{4} + 21 a^{2} b^{5} + 7 a b^{6} + b^{7}

б) Восьмая степень:

(a + b)^{8} = a^{8} + 8 a^{7} b + 28 a^{6} b^{2} + 56 a^{5} b^{3} + 70 a^{4} b^{4} + 56 a^{3} b^{5} + 28 a^{2} b^{6} + 8 a b^{7} + b^{8}

Подробное решение

📚 Свойства бинома Ньютона

При возведении $(a + b)$ в натуральную степень $n$ :

Число слагаемых в разложении всегда равно $n + 1$ .
Коэффициенты симметричны относительно середины (свойство треугольника Паскаля).
Сумма показателей степеней $a$ и $b$ в каждом слагаемом всегда равна $n$ .

Подробный пошаговый разбор

Поиск коэффициентов

Для составления формул нам нужны соответствующие строки треугольника Паскаля. В номере 973 мы получили строку для $n = 7$ : $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$ .

Для восьмой степени ( $n = 8$ ) складываем соседние числа седьмой строки:

$1 + 7 = 8$
$7 + 21 = 28$
$21 + 35 = 56$
$35 + 35 = 70$
...и так далее симметрично.

Коэффициенты для $n = 8$ : $1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1$ .

Запись разложения

При записи формулы важно следить за степенями:

Степень первого слагаемого $a$ убывает от $n$ до 0.
Степень второго слагаемого $b$ возрастает от 0 до $n$ .
Числа из треугольника Паскаля ставятся как множители перед каждой парой степеней.