Номер 977 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Представьте в виде многочлена выражение:

а) $(a^{2} + 3 b^{3})^{3}$ ;

б) $(1 - 2 x y)^{4}$ .

Краткое решение

а) $(a^{2} + 3 b^{3})^{3} =$

= (a^{2})^{3} + 3 (a^{2})^{2} \cdot 3 b^{3} + 3 a^{2} \cdot (3 b^{3})^{2} + (3 b^{3})^{3} =

= a^{6} + 3 a^{4} \cdot 3 b^{3} + 3 a^{2} \cdot 9 b^{6} + 27 b^{9} =

= a^{6} + 9 a^{4} b^{3} + 27 a^{2} b^{6} + 27 b^{9} .

б) $(1 - 2 x y)^{4} =$

= 1^{4} - 4 \cdot 1^{3} \cdot 2 x y + 6 \cdot 1^{2} \cdot (2 x y)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x y)^{3} + (2 x y)^{4} =

= 1 - 8 x y + 6 \cdot 4 x^{2} y^{2} - 4 \cdot 8 x^{3} y^{3} + 16 x^{4} y^{4} =

= 1 - 8 x y + 24 x^{2} y^{2} - 32 x^{3} y^{3} + 16 x^{4} y^{4} .

Подробное решение

📚 Правила возведения в степень

Для решения используйте коэффициенты треугольника Паскаля:

Степень 3: коэффициенты $1, 3, 3, 1$ .
Степень 4: коэффициенты $1, 4, 6, 4, 1$ .
Свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}$ .
Произведение: при возведении произведения в степень возводится каждый множитель: $(x y)^{n} = x^{n} y^{n}$ .

Подробный пошаговый разбор

Разбор пункта а)

Используем формулу куба суммы $(x + y)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ . В нашем случае $x = a^{2}$ , а $y = 3 b^{3}$ :

Первое слагаемое: $(a^{2})^{3} = a^{6}$ .
Второе слагаемое: $3 \cdot (a^{2})^{2} \cdot 3 b^{3} = 3 \cdot a^{4} \cdot 3 b^{3} = 9 a^{4} b^{3}$ .
Третье слагаемое: $3 \cdot a^{2} \cdot (3 b^{3})^{2} = 3 \cdot a^{2} \cdot 9 b^{6} = 27 a^{2} b^{6}$ .
Четвертое слагаемое: $(3 b^{3})^{3} = 27 b^{9}$ .

Разбор пункта б)

Применяем формулу четвертой степени разности. Коэффициенты берем из треугольника Паскаля для $n = 4$ . Так как в скобках минус, знаки слагаемых чередуются: $+, -, +, -, +$ .

Важно не забыть возвести числовой коэффициент 2 в соответствующие степени (2, 4, 8, 16).