Номер 978 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Представьте в виде многочлена выражение:

а) $(x + y)^{6} + (x - y)^{6}$ ;

б) $(x + y)^{6} - (x - y)^{6}$ .

Краткое решение

а) $(x + y)^{6} + (x - y)^{6} =$

= (x^{6} + 6 x^{5} y + 15 x^{4} y^{2} + 20 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y^{4} + 6 x y^{5} + y^{6}) + (x^{6} - 6 x^{5} y + 15 x^{4} y^{2} - 20 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y^{4} - 6 x y^{5} + y^{6}) =

= x^{6} + 6 x^{5} y + 15 x^{4} y^{2} + 20 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y^{4} + 6 x y^{5} + y^{6} + x^{6} - 6 x^{5} y + 15 x^{4} y^{2} - 20 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y^{4} - 6 x y^{5} + y^{6} =

= (x^{6} + x^{6}) + (15 x^{4} y^{2} + 15 x^{4} y^{2}) + (15 x^{2} y^{4} + 15 x^{2} y^{4}) + (y^{6} + y^{6}) =

= 2 x^{6} + 30 x^{4} y^{2} + 30 x^{2} y^{4} + 2 y^{6} .

б) $(x + y)^{6} - (x - y)^{6} =$

= (x^{6} + 6 x^{5} y + 15 x^{4} y^{2} + 20 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y^{4} + 6 x y^{5} + y^{6}) - (x^{6} - 6 x^{5} y + 15 x^{4} y^{2} - 20 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y^{4} - 6 x y^{5} + y^{6}) =

= x^{6} + 6 x^{5} y + 15 x^{4} y^{2} + 20 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y^{4} + 6 x y^{5} + y^{6} - x^{6} + 6 x^{5} y - 15 x^{4} y^{2} + 20 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{4} + 6 x y^{5} - y^{6} =

= (6 x^{5} y + 6 x^{5} y) + (20 x^{3} y^{3} + 20 x^{3} y^{3}) + (6 x y^{5} + 6 x y^{5}) =

= 12 x^{5} y + 40 x^{3} y^{3} + 12 x y^{5} .

При сложении или вычитании степеней двучленов $(x + y)^{n}$ и $(x - y)^{n}$ :

В разложении $(x - y)^{n}$ слагаемые на четных местах имеют знак «минус».
При сложении: слагаемые с противоположными знаками (где $y$ в нечетной степени) взаимно уничтожаются. Остальные удваиваются.
При вычитании: уничтожаются слагаемые с одинаковыми знаками (где $y$ в четной степени). Слагаемые с разными знаками складываются.

Для показателя степени $n = 6$ используем строку треугольника Паскаля: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ .

В выражении $(x - y)^{6}$ знаки чередуются. Минус стоит перед слагаемыми, где $y$ находится в нечетной степени: $y^{1}, y^{3}, y^{5}$ .

В пункте а при сложении многочленов сокращаются пары $p m 6 x^{5} y$ , $p m 20 x^{3} y^{3}$ и $p m 6 x y^{5}$ .
В пункте б перед второй скобкой стоит минус. Это значит, что знаки всех членов во второй скобке меняются. Теперь уничтожаются $x^{6}$ , $15 x^{4} y^{2}$ , $15 x^{2} y^{4}$ и $y^{6}$ .