№1158. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол между этими медианами.
Дано:
△ABC, ∠C=90∘, AC=BC
AM1, BM2 — медианы
Решение:
1)Пусть a=CA,b=CB. Тогда ∣a∣=∣b∣=c,a⋅b=0. 2)AM1=21b−a,BM2=21a−b 3)AM1⋅BM2=(21b−a)(21a−b)= =41a⋅b−21b2−21a2+a⋅b=−21c2−21c2=−c2 4)∣AM1∣2=(21b−a)2=41b2−a⋅b+a2= =41c2+c2=45c2⟹∣AM1∣=2c5 ∣BM2∣=2c5 (аналогично) 5)cosφ=∣AM1∣⋅∣BM2∣AM1⋅BM2=2c5⋅2c5−c2=−54 6)cosα=−54=54⟹α=arccos54 
