Номер 1164 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1164. В треугольнике $A BC$ отрезок $A D$ — биссектриса, отрезок $A M$ — медиана, $b = A C$ , $c = A B$ . Докажите, что: а) $A D = \frac{2 b c}{b + c} \frac{1 + c o s A}{2}$ ; б) $A M = \frac{1}{2} b^{2} + c^{2} + 2 b c cos A$ .

Дано:

$△ A BC$ , $A D$ — биссектриса, $A M$ — медиана, $A C = b$ , $A B = c$

Доказать:

а) $A D = \frac{2 b c}{b + c} \frac{1 + c o s A}{2}$ ;
б) $A M = \frac{1}{2} b^{2} + c^{2} + 2 b c cos A$

Чертёж к задаче 1164 — треугольник ABC с биссектрисой AD и медианой AM

Доказательство:

а) A D — биссектриса ⟹ \frac{B D}{D C} = \frac{c}{b} .

A D = \frac{b}{b + c} A B + \frac{c}{b + c} A C = \frac{1}{b + c} (b A B + c A C)

A D^{2} = \frac{1}{( b + c ) ^{2}} (b^{2} A B^{2} + c^{2} A C^{2} + 2 b c (A B \cdot A C))

A D^{2} = \frac{1}{( b + c ) ^{2}} (b^{2} c^{2} + c^{2} b^{2} + 2 b c \cdot b c cos A) = \frac{2 b ^{2} c ^{2}}{( b + c ) ^{2}} (1 + cos A)

A D = \frac{b c}{b + c} 2 (1 + cos A) = \frac{2 b c}{b + c} \frac{1 + cos A}{2} Ч . т . д .

б) A M — медиана ⟹ A M = \frac{1}{2} (A B + A C)

A M^{2} = \frac{1}{4} (A B^{2} + A C^{2} + 2 A B \cdot A C)

A M^{2} = \frac{1}{4} (c^{2} + b^{2} + 2 b c cos A)

A M = \frac{1}{2} b^{2} + c^{2} + 2 b c cos A Ч . т . д .

Ответ: что и требовалось доказать.

Номер 1164 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели