Номер 1162 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1162. Точка $M$ лежит на стороне $BC$ треугольника $A BC$ и $BM = k MC$ . Докажите, что $(1 + k)^{2} A M^{2} = k^{2} b^{2} + 2 b c k cos A + c^{2}$ , где $b = A C$ , $c = A B$ .

Дано:

$△ A BC$

$M \in BC$ , $BM = k \cdot MC$

$A C = b$ , $A B = c$

Доказать:

$(1 + k)^{2} A M^{2} = k^{2} b^{2} + 2 b c k cos A + c^{2}$

Чертёж к задаче 1162 — треугольник ABC с точкой M на стороне BC и векторами AB, AC, AM

Доказательство:

1) Введём векторы A B, A C, A M . Т . к . M \in BC и BM = k \cdot MC,

векторы сонаправлены : BM = k MC .

2) A M = A B + BM = A B + k MC, MC = A C - A M

A M = A B + k (A C - A M)

A M + k A M = A B + k A C ⟹ (1 + k) A M = A B + k A C

3) Возведём в скалярный квадрат :

(1 + k)^{2} A M^{2} = (A B + k A C)^{2}

(1 + k)^{2} A M^{2} = A B^{2} + 2 k (A B \cdot A C) + k^{2} A C^{2}

4) A B^{2} = c^{2}, A C^{2} = b^{2}, A B \cdot A C = c b cos A

(1 + k)^{2} A M^{2} = c^{2} + 2 b c k cos A + k^{2} b^{2}

Ответ: что и требовалось доказать.

Номер 1162 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели