Номер 1251 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Анализ:

Осевая симметрия — движение, поэтому прямая $b$ отображается на прямую. Прямая определяется двумя точками, значит, достаточно построить образы двух точек прямой $b$.

Построение:

1) Если прямая $b$ пересекает ось $a$ в точке $O$, возьмём $O$ (она лежит на оси и остаётся на месте) и ещё любую точку $M$ прямой $b$, не лежащую на $a$.

2) Через точку $M$ проведём перпендикуляр к прямой $a$; он пересекает её в точке $H$. Отложим на нём по другую сторону от $a$ отрезок $H{M}_1=HM$. Точка $M_1$ симметрична точке $M$ относительно оси $a$.

3) Проведём прямую $O{M}_1$. Это искомая прямая $b_1$.

Доказательство:

Точки $O$ и $M$ при данной симметрии отображаются в точки $O$ и $M_1$. Осевая симметрия — движение, при нём прямая отображается на прямую. Значит, образ прямой $b$ — прямая, проходящая через $O$ и $M_1$, то есть $O{M}_1$.

Исследование:

Решение существует при любом расположении прямых и единственно. Если $b\parallel a$, точки $O$ нет: берём две любые точки $M$ и $N$ прямой $b$, строим симметричные им точки $M_1$ и $N_1$, и $b_1=M_1{N}_1$; при этом $b_1\parallel a$ (задача 1240 а). Если $b\perp a$, то $M_1$ лежит на $b$ и $b_1=b$ (задача 1240 б).