Номер 1166 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1166. Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.

Дано:

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $k$ — коэф. подобия

$R$ , $R_{1}$ — радиусы описанных окружностей

$r$ , $r_{1}$ — радиусы вписанных окружностей

Доказать:

а) $\frac{R}{R _{1}} = k$ ;
б) $\frac{r}{r _{1}} = k$

Чертёж к задаче 1166 — два подобных треугольника с описанными и вписанными окружностями

Доказательство:

а) По теореме синусов : 2 R = \frac{BC}{sin A} и 2 R_{1} = \frac{B _{1} C _{1}}{sin A _{1}} .

△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1} ⟹ ∠ A = ∠ A_{1} ⟹ sin A = sin A_{1} .

\frac{R}{R _{1}} = \frac{BC / ( 2 sin A )}{B _{1} C _{1} / ( 2 sin A _{1} )} = \frac{BC}{B _{1} C _{1}} = k . Ч . т . д .

б) Площадь треугольника : S = p \cdot r ⟹ r = \frac{S}{p} .

Для подобных треугольников : \frac{S}{S _{1}} = k^{2}, \frac{p}{p _{1}} = k .

\frac{r}{r _{1}} = \frac{S / p}{S _{1} / p _{1}} = \frac{S}{S _{1}} \cdot \frac{p _{1}}{p} = k^{2} \cdot \frac{1}{k} = k . Ч . т . д .

Ответ: что и требовалось доказать.

Номер 1166 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели