Номер 1152 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1152. Найдите биссектрису $A D$ треугольника $A BC$ , если $∠ A = α$ , $A B = c$ , $A C = b$ .

Дано:

$△ A BC$ , $A D$ — биссектриса, $∠ A = α$ , $A B = c$ , $A C = b$

Найти:

$A D$

Решение:

1) S_{A BC} = S_{A B D} + S_{A D C}

2) S = \frac{1}{2} x y sin γ :

\frac{1}{2} b c sin α = \frac{1}{2} c \cdot A D \cdot sin \frac{α}{2} + \frac{1}{2} b \cdot A D \cdot sin \frac{α}{2}

3) b c sin α = A D \cdot sin \frac{α}{2} \cdot (b + c)

4) sin α = 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2} :

A D = \frac{b c sin α}{( b + c ) sin \frac{α}{2}} = \frac{b c \cdot 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}}{( b + c ) sin \frac{α}{2}} = \frac{2 b c cos \frac{α}{2}}{b + c}

Ответ: $A D = \frac{2 b c c o s \frac{α}{2}}{b + c}$ .