Номер 1161 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1161. Дан ромб $MNPQ$ . Отрезок $MF$ — биссектриса треугольника $MPQ$ , $∠ NMQ = 4 α$ , $FQ = a$ . Найдите площадь данного ромба.

Дано:

$MNPQ$ — ромб

$MF$ — биссектриса $∠ M$ в $△ MPQ$

$∠ NMQ = 4 α$ , $FQ = a$

Найти:

$S_{MNPQ}$

Решение:

1) В ромбе MNPQ : ∠ M = 4 α ⟹ ∠ Q = 18 0^{\circ} - 4 α

Диагональ MP — биссектриса ∠ M ⟹ ∠ QMP = 2 α

2) В △ MPQ : MF — биссектриса ∠ QMP ⟹ ∠ QMF = α

∠ MFQ = 18 0^{\circ} - (∠ QMF + ∠ Q) = 18 0^{\circ} - (α + 18 0^{\circ} - 4 α) = 3 α

3) В △ FMQ по теореме синусов :

\frac{MQ}{sin ∠ MFQ} = \frac{FQ}{sin ∠ QMF} ⟹ \frac{MQ}{sin 3 α} = \frac{a}{sin α} ⟹ MQ = \frac{a sin 3 α}{sin α}

4) S_{MNPQ} = M Q^{2} sin ∠ NMQ = (\frac{a sin 3 α}{sin α})^{2} sin 4 α

S_{MNPQ} = \frac{a ^{2} sin ^{2} 3 α \cdot sin 4 α}{sin ^{2} α}

Ответ: $\frac{a ^{2} s i n ^{2} 3 α \cdot s i n 4 α}{s i n ^{2} α}$ .