Номер 1165 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1165. Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.

Дано:

$A BC D$ — параллелограмм, $A C ⊥ B D$

Доказать:

$A BC D$ — ромб

Доказательство:

1) Введём векторы : A B = a, A D = b .

Векторы диагоналей : A C = a + b, B D = A D - A B = b - a .

2) A C ⊥ B D ⟹ A C \cdot B D = 0.

(b + a) \cdot (b - a) = 0

b^{2} - a^{2} = 0 ⟹ b^{2} = a^{2}

3) ∣ b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} ⟹ ∣ b ∣ = ∣ a ∣ ⟹ A D = A B .

4) Параллелограмм со смежными равными сторонами является ромбом .

Ответ: что и требовалось доказать.