Номер 1225 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1225. Диагонали $A_{1} A_{6}$ и $A_{2} A_{9}$ правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке $B$ (рис. 355). Докажите, что: а) треугольники $A_{1} A_{2} B$ и $A_{6} A_{9} B$ равносторонние; б) $A_{1} A_{6} = 2 r$ , где $r$ — радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности.

Дано:

Правильный 12-угольник $A_{1} \dots A_{12}$ , $A_{1} A_{6} \cap A_{2} A_{9} = B$

Доказать:

а) $△ A_{1} A_{2} B, △ A_{6} A_{9} B$ — равносторонние; б) $A_{1} A_{6} = 2 r$

Чертёж к задаче 1225 — правильный двенадцатиугольник, диагонали A₁A₆ и A₂A₉ и точка их пересечения B

Доказательство:

1) ∠ A_{1} B A_{2} = \frac{\cup A _{1} A _{2} + \cup A _{6} A _{9}}{2} = \frac{3 0 ^{\circ} + 9 0 ^{\circ}}{2} = 6 0^{\circ}

2) ∠ B A_{1} A_{2} = \frac{1}{2} \cdot (\cup A_{2} \dots A_{6}) = \frac{1}{2} \cdot 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

3) В △ A_{1} A_{2} B два угла по 6 0^{\circ} \Rightarrow он равносторонний .

4) Аналогично ∠ B A_{6} A_{9} = \frac{1}{2} \cdot (\cup A_{1} \dots A_{9}) = 6 0^{\circ} \Rightarrow △ A_{6} A_{9} B равносторонний .

5) A_{1} A_{6} = A_{1} B + B A_{6} = a_{12} + A_{6} A_{9}

6) a_{12} = 2 R sin 1 5^{\circ}, A_{6} A_{9} = 2 R sin 4 5^{\circ}

7) A_{1} A_{6} = 2 R (sin 1 5^{\circ} + sin 4 5^{\circ}) = 2 R (2 sin 3 0^{\circ} cos 1 5^{\circ}) = 2 R cos 1 5^{\circ}

8) Так как r = R cos 1 5^{\circ}, то A_{1} A_{6} = 2 r .

Ответ: что и требовалось доказать.

Номер 1225 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели