Номер 1228 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1228. Квадрат $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ вписан в окружность радиуса $R$ (рис. 357). На его сторонах отмечены восемь точек так, что $A_{1} B_{1} = A_{2} B_{2} = A_{3} B_{3} = A_{4} B_{4} = A_{1} C_{1} = A_{2} C_{2} = A_{3} C_{3} = A_{4} C_{4} = R$ . Докажите, что восьмиугольник $B_{1} C_{3} B_{2} C_{4} B_{3} C_{1} B_{4} C_{2}$ правильный, и выразите площадь этого восьмиугольника через радиус $R$ .

Дано:

Квадрат $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ , $a = R 2$

Доказать:

восьмиугольник правильный; найти $S_{8}$

Чертёж к задаче 1228 — квадрат A₁A₂A₃A₄ в окружности радиуса R и правильный восьмиугольник на его сторонах

Доказательство и решение:

1) a = R 2 . A_{2} B_{1} = a - A_{1} B_{1} = R 2 - R = R (2 - 1) .

A_{2} C_{3} = a - A_{3} C_{3} = R 2 - R = R (2 - 1) .

2) В △ A_{2} B_{1} C_{3} (∠ A_{2} = 9 0^{\circ}) : B_{1} C_{3} = A_{2} B_{1} 2 = R (2 - 2) .

C_{2} B_{1} = a - 2 A_{2} B_{1} = R 2 - 2 R (2 - 1) = R (2 - 2) .

\Rightarrow Все 8 сторон равны R (2 - 2) .

3) ∠ C_{2} B_{1} C_{3} = 18 0^{\circ} - ∠ A_{2} B_{1} C_{3} = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ} .

\Rightarrow Все углы равны 13 5^{\circ} \Rightarrow многоугольник правильный .

4) S_{8} = S_{кв} - 4 \cdot S_{△ B_{1} A_{2} C_{3}} = a^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} A_{2} B_{1} \cdot A_{2} C_{3}

S_{8} = 2 R^{2} - 2 (R (2 - 1))^{2} = 2 R^{2} - 2 R^{2} (3 - 22) = 4 R^{2} (2 - 1) .

Ответ: $S_{8} = 4 R^{2} (2 - 1)$ .

Номер 1228 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели