Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:
- а) (n+1)2−(n−1)2 делится на 4;
- б) (2n+3)2−(2n−1)2 делится на 8;
- в) (3n+1)2−(3n−1)2 делится на 12;
- г) (5n+1)2−(2n−1)2 делится на 7.
Краткое решение
а) (n+1)2−(n−1)2=(n+1−n+1)(n+1+n−1)=2⋅2n=4n (делится на 4) б) (2n+3)2−(2n−1)2=(2n+3−2n+1)(2n+3+2n−1)=4⋅(4n+2)=8(2n+1) (делится на 8) в) (3n+1)2−(3n−1)2=(3n+1−3n+1)(3n+1+3n−1)=2⋅6n=12n (делится на 12) г) (5n+1)2−(2n−1)2=(5n+1−2n+1)(5n+1+2n−1)=(3n+2)⋅7n=7n(3n+2) (делится на 7) Подробное решение
📚 Теория: Доказательство делимости
Чтобы доказать, что выражение делится на число k, необходимо разложить это выражение на множители так, чтобы один из множителей был равен k или делился на k.
Используем формулу:
a2−b2=(a−b)(a+b) Решение пункта а)
Разложим разность квадратов:
((n+1)−(n−1))((n+1)+(n−1))=(n+1−n+1)(n+1+n−1)=2⋅2n=4n Так как один из множителей равен 4, то всё произведение 4n делится на 4 при любом натуральном n.
Решение пункта б)
((2n+3)−(2n−1))((2n+3)+(2n−1))=(2n+3−2n+1)(4n+2)=4⋅(4n+2) Вынесем 2 из второй скобки: 4⋅2(2n+1)=8(2n+1).
Множитель 8 доказывает делимость всего выражения на 8.
Решение пункта в)
((3n+1)−(3n−1))((3n+1)+(3n−1))=(3n+1−3n+1)(3n+1+3n−1)=2⋅6n=12n Полученное выражение 12n очевидно делится на 12.
Решение пункта г)
((5n+1)−(2n−1))((5n+1)+(2n−1))=(5n+1−2n+1)(7n)=(3n+2)⋅7n Произведение содержит множитель 7, значит, оно делится на 7 при любом натуральном n.
