Номер 1000 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения:

а) $(n + 1)^2 - (n - 1)^2$ делится на $4$ ;
б) $(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2$ делится на $8$ ;
в) $(3n + 1)^2 - (3n - 1)^2$ делится на $12$ ;
г) $(5n + 1)^2 - (2n - 1)^2$ делится на $7$ .

Краткое решение

\text{а) } (n + 1)^2 - (n - 1)^2 = (n + 1 - n + 1)(n + 1 + n - 1) = 2 \cdot 2n = 4n \text{ (делится на 4)}

\text{б) } (2n + 3)^2 - (2n - 1)^2 = (2n + 3 - 2n + 1)(2n + 3 + 2n - 1) = 4 \cdot (4n + 2) = 8(2n + 1) \text{ (делится на 8)}

\text{в) } (3n + 1)^2 - (3n - 1)^2 = (3n + 1 - 3n + 1)(3n + 1 + 3n - 1) = 2 \cdot 6n = 12n \text{ (делится на 12)}

\text{г) } (5n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = (5n + 1 - 2n + 1)(5n + 1 + 2n - 1) = (3n + 2) \cdot 7n = 7n(3n + 2) \text{ (делится на 7)}

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство делимости

Чтобы доказать, что выражение делится на число $k$ , необходимо разложить это выражение на множители так, чтобы один из множителей был равен $k$ или делился на $k$ .
Используем формулу:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Решение пункта а)

Разложим разность квадратов:

((n + 1) - (n - 1))((n + 1) + (n - 1)) = (n + 1 - n + 1)(n + 1 + n - 1) = 2 \cdot 2n = 4n

Так как один из множителей равен $4$ , то всё произведение $4n$ делится на $4$ при любом натуральном $n$ .

Решение пункта б)

((2n + 3) - (2n - 1))((2n + 3) + (2n - 1)) = (2n + 3 - 2n + 1)(4n + 2) = 4 \cdot (4n + 2)

Вынесем $2$ из второй скобки: $4 \cdot 2(2n + 1) = 8(2n + 1)$ .

Множитель $8$ доказывает делимость всего выражения на $8$ .

Решение пункта в)

((3n + 1) - (3n - 1))((3n + 1) + (3n - 1)) = (3n + 1 - 3n + 1)(3n + 1 + 3n - 1) = 2 \cdot 6n = 12n

Полученное выражение $12n$ очевидно делится на $12$ .

Решение пункта г)

((5n + 1) - (2n - 1))((5n + 1) + (2n - 1)) = (5n + 1 - 2n + 1)(7n) = (3n + 2) \cdot 7n

Произведение содержит множитель $7$ , значит, оно делится на $7$ при любом натуральном $n$ .