Докажите, что значение выражения:
- а) 413+193 делится на 60;
- б) 793−293 делится на 50;
- в) 663+343 делится на 400;
- г) 543−243 делится на 1080.
Краткое решение
а) 413+193=
=(41+19)(412−41⋅19+192)=
=60⋅(1681−41⋅19+361) — делится на 60.
б) 793−293=
=(79−29)(792+79⋅29+292)=
=50⋅(792+79⋅29+292) — делится на 50.
в) 663+343=
=(66+34)(662−66⋅34+342)=
=100⋅((2⋅33)2−2⋅33⋅2⋅17+(2⋅17)2)=
=100⋅(4⋅332−4⋅33⋅17+4⋅172)=
=100⋅4⋅(332−33⋅17+172)=
=400⋅(332−33⋅17+172) — делится на 400.
г) 543−243=
=(54−24)(542+54⋅24+242)=
=30⋅((6⋅9)2+6⋅9⋅6⋅4+(6⋅4)2)=
=30⋅(36⋅81+36⋅9⋅4+36⋅16)=
=30⋅36⋅(81+36+16)=
=1080⋅(81+36+16) — делится на 1080.
Подробное решение
📚 Теория: Формулы суммы и разности кубов
Для доказательства делимости разложим выражения на множители:
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
Если один из множителей делится на заданное число, то и всё произведение делится на него.
Решение пункта а)
Применяем формулу суммы кубов. Первым множителем будет сумма оснований: 41+19=60.
413+193=(41+19)(412−41⋅19+192)=60⋅(412−41⋅19+192)
Так как в произведении есть множитель 60, значение выражения кратно 60.
Решение пункта б)
Применяем формулу разности кубов. Разность оснований: 79−29=50.
793−293=(79−29)(792+79⋅29+292)=50⋅(792+79⋅29+292)
Наличие множителя 50 доказывает делимость всего выражения на 50.
Решение пункта в)
Разложим сумму кубов: 66+34=100. Чтобы получить множитель 400, вынесем 4 из неполного квадрата:
663+343=(66+34)(662−66⋅34+342)=100⋅(662−66⋅34+342)
Заметим, что 66=2⋅33 и 34=2⋅17, значит из каждого квадрата можно вынести 22=4:
100⋅4⋅(332−33⋅17+172)=400⋅(332−33⋅17+172)
Выражение делится на 400.
Решение пункта г)
Разность оснований: 54−24=30. Для получения 1080 (30⋅36), вынесем 36 из неполного квадрата:
543−243=30⋅(542+54⋅24+242)
Так как 54=6⋅9 и 24=6⋅4, выносим 62=36:
30⋅36⋅(92+9⋅4+42)=1080⋅(81+36+16)
Выражение делится на 1080.
