Номер 997 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Представьте в виде произведения:

а) $x^{10} - 1$ ;
б) $y^{12} - 16$ ;
в) $a^{2} x^{8} - 81$ ;

г) $36 - b^{4} y^{6}$ ;
д) $25 p^{4} q^{4} - 1$ ;
е) $- 9 + 121 m^{8} n^{8}$ ;

ж) $0, 01 x^{16} - 0, 16$ ;
з) $1, 69 y^{14} - 1, 21$ ;
и) $\frac{4}{9} m^{6} - \frac{25}{36}$ .

Краткое решение

а) x^{10} - 1 = (x^{5})^{2} - 1^{2} = (x^{5} - 1) (x^{5} + 1)

б) y^{12} - 16 = (y^{6})^{2} - 4^{2} = (y^{6} - 4) (y^{6} + 4)

в) a^{2} x^{8} - 81 = (a x^{4})^{2} - 9^{2} = (a x^{4} - 9) (a x^{4} + 9)

г) 36 - b^{4} y^{6} = 6^{2} - (b^{2} y^{3})^{2} = (6 - b^{2} y^{3}) (6 + b^{2} y^{3})

д) 25 p^{4} q^{4} - 1 = (5 p^{2} q^{2})^{2} - 1^{2} = (5 p^{2} q^{2} - 1) (5 p^{2} q^{2} + 1)

е) - 9 + 121 m^{8} n^{8} = (11 m^{4} n^{4})^{2} - 3^{2} = (11 m^{4} n^{4} - 3) (11 m^{4} n^{4} + 3)

ж) 0, 01 x^{16} - 0, 16 = (0, 1 x^{8})^{2} - 0, 4^{2} = (0, 1 x^{8} - 0, 4) (0, 1 x^{8} + 0, 4)

з) 1, 69 y^{14} - 1, 21 = (1, 3 y^{7})^{2} - 1, 1^{2} = (1, 3 y^{7} - 1, 1) (1, 3 y^{7} + 1, 1)

и) \frac{4}{9} m^{6} - \frac{25}{36} = (\frac{2}{3} m^{3})^{2} - (\frac{5}{6})^{2} = (\frac{2}{3} m^{3} - \frac{5}{6}) (\frac{2}{3} m^{3} + \frac{5}{6})

Подробное решение

📚 Теория: Свойства степеней и разность квадратов

При выполнении заданий используем правило возведения степени в степень: $(a^{n})^{m} = a^{nm}$ . Чтобы представить выражение как разность квадратов, показатель степени должен быть четным (делиться на $2$ ).
Формула:

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Пункты а) – в)

а) Делим показатель степени $10$ на $2$ , получаем $x^{10} = (x^{5})^{2}$ . Тогда: $(x^{5} - 1) (x^{5} + 1)$ .

б) $y^{12} = (y^{6})^{2}$ , а $16 = 4^{2}$ . Получаем произведение разности и суммы этих оснований.

в) $a^{2} x^{8} = (a x^{4})^{2}$ , $81 = 9^{2}$ . Применяем формулу.

Пункты г) – е)

г) $36 = 6^{2}$ , а $b^{4} y^{6} = (b^{2} y^{3})^{2}$ . Получаем: $(6 - b^{2} y^{3}) (6 + b^{2} y^{3})$ .

д) $25 p^{4} q^{4} = (5 p^{2} q^{2})^{2}$ . Единица в любой степени остается единицей.

е) Поменяем слагаемые местами, чтобы получить стандартный вид: $121 m^{8} n^{8} - 9 = (11 m^{4} n^{4})^{2} - 3^{2}$ .

Пункты ж) – и)

ж) Корень из $0, 01$ — это $0, 1$ , а показатель $16$ делим пополам: $(0, 1 x^{8} - 0, 4) (0, 1 x^{8} + 0, 4)$ .

з) Представим числа как квадраты: $1, 69 = 1, 3^{2}$ и $1, 21 = 1, 1^{2}$ . Степень $y^{14} = (y^{7})^{2}$ .

и) Работаем с дробями: $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^{2}$ и $\frac{25}{36} = (\frac{5}{6})^{2}$ . Получаем две скобки с этими значениями.