Номер 1005 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Представьте в виде произведения:

Краткое решение

а) (x + 1)^{3} + x^{3} = (x + 1 + x) ((x + 1)^{2} - x (x + 1) + x^{2}) = (2 x + 1) (x^{2} + x + 1)

б) (y - 2)^{3} - 27 = (y - 2 - 3) ((y - 2)^{2} + 3 (y - 2) + 9) = (y - 5) (y^{2} - y + 7)

в) (a - b)^{3} + b^{3} = (a - b + b) ((a - b)^{2} - b (a - b) + b^{2}) = a (a^{2} - 3 ab + 3 b^{2})

г) 8 x^{3} + (x - y)^{3} = (2 x + x - y) (4 x^{2} - 2 x (x - y) + (x - y)^{2}) = (3 x - y) (3 x^{2} + y^{2})

д) 27 a^{3} - (a - b)^{3} = (3 a - (a - b)) (9 a^{2} + 3 a (a - b) + (a - b)^{2}) = (2 a + b) (13 a^{2} - 5 ab + b^{2})

е) 1000 + (b - 8)^{3} = (10 + b - 8) (100 - 10 (b - 8) + (b - 8)^{2}) = (b + 2) (b^{2} - 26 b + 244)

При выполнении заданий используются формулы:
1. Сумма кубов:

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

2. Разность кубов:

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

После разложения необходимо максимально упростить выражение во вторых скобках.

Используем формулу суммы кубов для выражений $x + 1$ и $x$ :

((x + 1) + x) ((x + 1)^{2} - (x + 1) x + x^{2}) = (2 x + 1) (x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - x + x^{2}) = (2 x + 1) (x^{2} + x + 1)

Представим $27$ как $3^{3}$ и применим разность кубов:

((y - 2) - 3) ((y - 2)^{2} + 3 (y - 2) + 9) = (y - 5) (y^{2} - 4 y + 4 + 3 y - 6 + 9) = (y - 5) (y^{2} - y + 7)

Разложим сумму кубов для выражений $a - b$ и $b$ :

((a - b) + b) ((a - b)^{2} - (a - b) b + b^{2}) = a (a^{2} - 2 ab + b^{2} - ab + b^{2} + b^{2}) = a (a^{2} - 3 ab + 3 b^{2})

Представим $8 x^{3}$ как $(2 x)^{3}$ :

(2 x + x - y) ((2 x)^{2} - 2 x (x - y) + (x - y)^{2}) = (3 x - y) (4 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x y + x^{2} - 2 x y + y^{2}) = (3 x - y) (3 x^{2} + y^{2})

Представим $27 a^{3}$ как $(3 a)^{3}$ :

(3 a - (a - b)) ((3 a)^{2} + 3 a (a - b) + (a - b)^{2}) = (3 a - a + b) (9 a^{2} + 3 a^{2} - 3 ab + a^{2} - 2 ab + b^{2}) =

= (2 a + b) (13 a^{2} - 5 ab + b^{2})

Представим $1000$ как $1 0^{3}$ :

(10 + b - 8) (1 0^{2} - 10 (b - 8) + (b - 8)^{2}) = (b + 2) (100 - 10 b + 80 + b^{2} - 16 b + 64) =

= (b + 2) (b^{2} - 26 b + 244)