Номер 991 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Преобразуйте в многочлен:

а) $(x - 5)^{2} + 2 x (x - 3)$ ;

д) $(2 a - 5)^{2} - (5 a - 2)^{2}$ ;

б) $(y + 8)^{2} - 4 y (y - 2)$ ;

е) $(3 b - 1)^{2} + (1 - 3 b)^{2}$ ;

в) $(a - 4) (a + 4) + (2 a - 1)^{2}$ ;

ж) $(2 x + 1)^{2} - (x + 7) (x - 3)$ ;

г) $(b - 3) (b + 3) - (b + 2)^{2}$ ;

з) $(3 y - 2)^{2} - (y - 9) (9 - y)$ .

Краткое решение

а) (x - 5)^{2} + 2 x (x - 3) = x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 6 x = 3 x^{2} - 16 x + 25

б) (y + 8)^{2} - 4 y (y - 2) = y^{2} + 16 y + 64 - 4 y^{2} + 8 y = - 3 y^{2} + 24 y + 64

в) (a - 4) (a + 4) + (2 a - 1)^{2} = a^{2} - 16 + 4 a^{2} - 4 a + 1 = 5 a^{2} - 4 a - 15

г) (b - 3) (b + 3) - (b + 2)^{2} = b^{2} - 9 - (b^{2} + 4 b + 4) = b^{2} - 9 - b^{2} - 4 b - 4 = - 4 b - 13

д) (2 a - 5)^{2} - (5 a - 2)^{2} = 4 a^{2} - 20 a + 25 - (25 a^{2} - 20 a + 4) = - 21 a^{2} + 21

е) (3 b - 1)^{2} + (1 - 3 b)^{2} = 9 b^{2} - 6 b + 1 + 1 - 6 b + 9 b^{2} = 18 b^{2} - 12 b + 2

ж) (2 x + 1)^{2} - (x + 7) (x - 3) = 4 x^{2} + 4 x + 1 - (x^{2} - 3 x + 7 x - 21) = 3 x^{2} + 22

з) (3 y - 2)^{2} - (y - 9) (9 - y) = 9 y^{2} - 12 y + 4 + (y - 9)^{2} = 10 y^{2} - 30 y + 85

При решении используются следующие формулы:
1. Квадрат разности:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

2. Квадрат суммы:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

3. Разность квадратов:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Раскроем квадрат разности и умножим одночлен на многочлен:

(x - 5)^{2} + 2 x (x - 3) = x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 6 x = 3 x^{2} - 16 x + 25

Применяем формулу квадрата суммы и раскрываем скобки:

(y + 8)^{2} - 4 y (y - 2) = y^{2} + 16 y + 64 - 4 y^{2} + 8 y = - 3 y^{2} + 24 y + 64

Используем разность квадратов и квадрат разности:

(a - 4) (a + 4) + (2 a - 1)^{2} = a^{2} - 16 + 4 a^{2} - 4 a + 1 = 5 a^{2} - 4 a - 15

Применяем формулы, учитывая знак минус перед вторым выражением:

b^{2} - 9 - (b^{2} + 4 b + 4) = b^{2} - 9 - b^{2} - 4 b - 4 = - 4 b - 13

Раскрываем два квадрата разности и приводим подобные:

(4 a^{2} - 20 a + 25) - (25 a^{2} - 20 a + 4) = 4 a^{2} - 20 a + 25 - 25 a^{2} + 20 a - 4 = - 21 a^{2} + 21

Раскрываем скобки. Заметим, что $(1 - 3 b)^{2} = (3 b - 1)^{2}$ :

9 b^{2} - 6 b + 1 + 1 - 6 b + 9 b^{2} = 18 b^{2} - 12 b + 2

Раскрываем квадрат суммы и перемножаем скобки:

4 x^{2} + 4 x + 1 - (x^{2} - 3 x + 7 x - 21) = 4 x^{2} + 4 x + 1 - x^{2} - 4 x + 21 = 3 x^{2} + 22

Заметим, что $- (y - 9) (9 - y) = (y - 9) (y - 9) = (y - 9)^{2}$ :

9 y^{2} - 12 y + 4 + (y^{2} - 18 y + 81) = 10 y^{2} - 30 y + 85