Номер 996 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Найдите значение выражения:

а)

\frac{3 8 ^{2} - 1 7 ^{2}}{7 2 ^{2} - 1 6 ^{2}}

б)

\frac{39 , 5 ^{2} - 3 , 5 ^{2}}{57 , 5 ^{2} - 14 , 5 ^{2}}

в)

\frac{17 , 5 ^{2} - 9 , 5 ^{2}}{131 , 5 ^{2} - 3 , 5 ^{2}}

Краткое решение

а) \frac{3 8 ^{2} - 1 7 ^{2}}{7 2 ^{2} - 1 6 ^{2}} = \frac{( 38 - 17 ) ( 38 + 17 )}{( 72 - 16 ) ( 72 + 16 )} = \frac{21 \cdot 55}{56 \cdot 88} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 11}{8 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 11} = \frac{15}{64}

б) \frac{39 , 5 ^{2} - 3 , 5 ^{2}}{57 , 5 ^{2} - 14 , 5 ^{2}} = \frac{( 39 , 5 - 3 , 5 ) ( 39 , 5 + 3 , 5 )}{( 57 , 5 - 14 , 5 ) ( 57 , 5 + 14 , 5 )} = \frac{36 \cdot 43}{43 \cdot 72} = \frac{36}{72} = 0, 5

в) \frac{17 , 5 ^{2} - 9 , 5 ^{2}}{131 , 5 ^{2} - 3 , 5 ^{2}} = \frac{( 17 , 5 - 9 , 5 ) ( 17 , 5 + 9 , 5 )}{( 131 , 5 - 3 , 5 ) ( 131 , 5 + 3 , 5 )} = \frac{8 \cdot 27}{128 \cdot 135} = \frac{8 \cdot 27}{16 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 27} = \frac{1}{80}

Подробное решение

📚 Теория: Вычисления по формуле

Применение формулы разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ позволяет значительно упростить вычисления в дробях. После разложения числителя и знаменателя на множители, общие множители можно сократить.

Решение пункта а)

1. Разложим числитель и знаменатель по формуле:

\frac{( 38 - 17 ) ( 38 + 17 )}{( 72 - 16 ) ( 72 + 16 )} = \frac{21 \cdot 55}{56 \cdot 88}

2. Представим числа в виде простых множителей для удобства сокращения:

\frac{3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 11}{8 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 11}

3. Сокращаем на $7$ и на $11$ . Остается:

\frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 8} = \frac{15}{64}

Решение пункта б)

1. Применим формулу к десятичным дробям:

\frac{( 39 , 5 - 3 , 5 ) ( 39 , 5 + 3 , 5 )}{( 57 , 5 - 14 , 5 ) ( 57 , 5 + 14 , 5 )} = \frac{36 \cdot 43}{43 \cdot 72}

2. Сокращаем дробь на $43$ :

\frac{36}{72} = \frac{1}{2} = 0, 5

Решение пункта в)

1. Выполняем разложение:

\frac{( 17 , 5 - 9 , 5 ) ( 17 , 5 + 9 , 5 )}{( 131 , 5 - 3 , 5 ) ( 131 , 5 + 3 , 5 )} = \frac{8 \cdot 27}{128 \cdot 135}

2. Заметим, что $128 = 16 \cdot 8$ , а $135 = 5 \cdot 27$ :

\frac{8 \cdot 27}{16 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 27} = \frac{1}{16 \cdot 5} = \frac{1}{80}