Номер 1003 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Представьте в виде произведения:

а) $\frac{27}{64} - y^{12}$ ;

в) $3 \frac{3}{8} a^{15} + b^{12}$ ;

б) $- x^{15} + \frac{1}{27}$ ;

г) $1 \frac{61}{64} x^{18} + y^{3}$ .

Краткое решение

а) \frac{27}{64} - y^{12} = (\frac{3}{4})^{3} - (y^{4})^{3} = (\frac{3}{4} - y^{4}) (\frac{9}{16} + \frac{3}{4} y^{4} + y^{8})

б) - x^{15} + \frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^{3} - (x^{5})^{3} = (\frac{1}{3} - x^{5}) (\frac{1}{9} + \frac{1}{3} x^{5} + x^{10})

в) 3 \frac{3}{8} a^{15} + b^{12} = (\frac{3}{2} a^{5})^{3} + (b^{4})^{3} = (\frac{3}{2} a^{5} + b^{4}) (\frac{9}{4} a^{10} - \frac{3}{2} a^{5} b^{4} + b^{8})

г) 1 \frac{61}{64} x^{18} + y^{3} = (\frac{5}{4} x^{6})^{3} + y^{3} = (\frac{5}{4} x^{6} + y) (\frac{25}{16} x^{12} - \frac{5}{4} x^{6} y + y^{2})

Для разложения на множители используем формулы:

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

При работе со смешанными дробями их необходимо сначала перевести в неправильные.

Представим каждое слагаемое в виде куба: $\frac{27}{64} = (\frac{3}{4})^{3}$ и $y^{12} = (y^{4})^{3}$ . Применяем формулу разности кубов:

(\frac{3}{4} - y^{4}) ((\frac{3}{4})^{2} + \frac{3}{4} y^{4} + (y^{4})^{2}) = (\frac{3}{4} - y^{4}) (\frac{9}{16} + \frac{3}{4} y^{4} + y^{8})

Для удобства поменяем слагаемые местами: $\frac{1}{27} - x^{15}$ . Представим как кубы:

(\frac{1}{3})^{3} - (x^{5})^{3} = (\frac{1}{3} - x^{5}) ((\frac{1}{3})^{2} + \frac{1}{3} x^{5} + (x^{5})^{2}) = (\frac{1}{3} - x^{5}) (\frac{1}{9} + \frac{1}{3} x^{5} + x^{10})

Переведем $3 \frac{3}{8}$ в неправильную дробь: $\frac{27}{8} = (\frac{3}{2})^{3}$ . Степень $a^{15} = (a^{5})^{3}$ :

(\frac{3}{2} a^{5} + b^{4}) ((\frac{3}{2} a^{5})^{2} - \frac{3}{2} a^{5} b^{4} + (b^{4})^{2}) = (\frac{3}{2} a^{5} + b^{4}) (\frac{9}{4} a^{10} - 1, 5 a^{5} b^{4} + b^{8})

Переведем $1 \frac{61}{64}$ в неправильную дробь: $\frac{125}{64} = (\frac{5}{4})^{3}$ . Степень $x^{18} = (x^{6})^{3}$ :

(\frac{5}{4} x^{6} + y) ((\frac{5}{4} x^{6})^{2} - \frac{5}{4} x^{6} y + y^{2}) = (1, 25 x^{6} + y) (1, 5625 x^{12} - 1, 25 x^{6} y + y^{2})