Номер 1000 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения:

а) $(n + 1)^{2} - (n - 1)^{2}$ делится на $4$ ;
б) $(2 n + 3)^{2} - (2 n - 1)^{2}$ делится на $8$ ;
в) $(3 n + 1)^{2} - (3 n - 1)^{2}$ делится на $12$ ;
г) $(5 n + 1)^{2} - (2 n - 1)^{2}$ делится на $7$ .

Краткое решение

а) (n + 1)^{2} - (n - 1)^{2} = (n + 1 - n + 1) (n + 1 + n - 1) = 2 \cdot 2 n = 4 n (делится на 4)

б) (2 n + 3)^{2} - (2 n - 1)^{2} = (2 n + 3 - 2 n + 1) (2 n + 3 + 2 n - 1) = 4 \cdot (4 n + 2) = 8 (2 n + 1) (делится на 8)

в) (3 n + 1)^{2} - (3 n - 1)^{2} = (3 n + 1 - 3 n + 1) (3 n + 1 + 3 n - 1) = 2 \cdot 6 n = 12 n (делится на 12)

г) (5 n + 1)^{2} - (2 n - 1)^{2} = (5 n + 1 - 2 n + 1) (5 n + 1 + 2 n - 1) = (3 n + 2) \cdot 7 n = 7 n (3 n + 2) (делится на 7)

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство делимости

Чтобы доказать, что выражение делится на число $k$ , необходимо разложить это выражение на множители так, чтобы один из множителей был равен $k$ или делился на $k$ .
Используем формулу:

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Решение пункта а)

Разложим разность квадратов:

((n + 1) - (n - 1)) ((n + 1) + (n - 1)) = (n + 1 - n + 1) (n + 1 + n - 1) = 2 \cdot 2 n = 4 n

Так как один из множителей равен $4$ , то всё произведение $4 n$ делится на $4$ при любом натуральном $n$ .

Решение пункта б)

((2 n + 3) - (2 n - 1)) ((2 n + 3) + (2 n - 1)) = (2 n + 3 - 2 n + 1) (4 n + 2) = 4 \cdot (4 n + 2)

Вынесем $2$ из второй скобки: $4 \cdot 2 (2 n + 1) = 8 (2 n + 1)$ .

Множитель $8$ доказывает делимость всего выражения на $8$ .

Решение пункта в)

((3 n + 1) - (3 n - 1)) ((3 n + 1) + (3 n - 1)) = (3 n + 1 - 3 n + 1) (3 n + 1 + 3 n - 1) = 2 \cdot 6 n = 12 n

Полученное выражение $12 n$ очевидно делится на $12$ .

Решение пункта г)

((5 n + 1) - (2 n - 1)) ((5 n + 1) + (2 n - 1)) = (5 n + 1 - 2 n + 1) (7 n) = (3 n + 2) \cdot 7 n

Произведение содержит множитель $7$ , значит, оно делится на $7$ при любом натуральном $n$ .