Номер 1011 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

а) $(a - 3) (a^{2} - 8 a + 5) - (a - 8) (a^{2} - 3 a + 5)$ ;
б) $(x^{2} - 3 x + 2) (2 x + 5) - (2 x^{2} + 7 x + 17) (x - 4)$ .

Краткое решение

а) (a - 3) (a^{2} - 8 a + 5) - (a - 8) (a^{2} - 3 a + 5) =

= (a^{3} - 8 a^{2} + 5 a - 3 a^{2} + 24 a - 15) - (a^{3} - 3 a^{2} + 5 a - 8 a^{2} + 24 a - 40) =

= a^{3} - 11 a^{2} + 29 a - 15 - a^{3} + 11 a^{2} - 29 a + 40 = 25

б) (x^{2} - 3 x + 2) (2 x + 5) - (2 x^{2} + 7 x + 17) (x - 4) =

= (2 x^{3} + 5 x^{2} - 6 x^{2} - 15 x + 4 x + 10) - (2 x^{3} - 8 x^{2} + 7 x^{2} - 28 x + 17 x - 68) =

= 2 x^{3} - x^{2} - 11 x + 10 - 2 x^{3} + x^{2} + 11 x + 68 = 78

Подробное решение

📚 Теория: Независимость от переменной

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо выполнить преобразования: раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Если в итоге получается число без переменной, утверждение доказано.

Решение пункта а)

1. Перемножим многочлены в первой группе:

a (a^{2} - 8 a + 5) - 3 (a^{2} - 8 a + 5) = a^{3} - 8 a^{2} + 5 a - 3 a^{2} + 24 a - 15 = a^{3} - 11 a^{2} + 29 a - 15

2. Перемножим многочлены во второй группе (результат в скобках):

a (a^{2} - 3 a + 5) - 8 (a^{2} - 3 a + 5) = a^{3} - 3 a^{2} + 5 a - 8 a^{2} + 24 a - 40 = a^{3} - 11 a^{2} + 29 a - 40

3. Вычтем результаты, меняя знаки во вторых скобках:

a^{3} - 11 a^{2} + 29 a - 15 - a^{3} + 11 a^{2} - 29 a + 40 = 25

Вывод: Значение всегда равно $25$ , что не зависит от $a$ .

Решение пункта б)

1. Упростим первую часть выражения:

(x^{2} - 3 x + 2) (2 x + 5) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - 6 x^{2} - 15 x + 4 x + 10 = 2 x^{3} - x^{2} - 11 x + 10

2. Упростим вторую часть выражения:

(2 x^{2} + 7 x + 17) (x - 4) = 2 x^{3} - 8 x^{2} + 7 x^{2} - 28 x + 17 x - 68 = 2 x^{3} - x^{2} - 11 x - 68

3. Раскроем скобки и приведем подобные:

2 x^{3} - x^{2} - 11 x + 10 - (2 x^{3} - x^{2} - 11 x - 68) = 2 x^{3} - x^{2} - 11 x + 10 - 2 x^{3} + x^{2} + 11 x + 68 = 78

Вывод: Переменная $x$ сократилась, значение выражения равно $78$ .