Номер 1012 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите тождество:

(a^{2} + b^{2}) (ab + c d) - ab (a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2}) = (a c + b d) (a d + b c)

Краткое решение

(a^{2} + b^{2}) (ab + c d) - ab (a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2}) = (a c + b d) (a d + b c)

a^{3} b + a^{2} c d + a b^{3} + b^{2} c d - a^{3} b - a b^{3} + ab c^{2} + ab d^{2} = (a c + b d) (a d + b c)

(a^{2} c d + ab d^{2}) + (ab c^{2} + b^{2} c d) = (a c + b d) (a d + b c)

a d (a c + b d) + b c (a c + b d) = (a c + b d) (a d + b c)

(a c + b d) (a d + b c) = (a c + b d) (a d + b c)

Тождество доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство тождеств

Для доказательства тождества мы преобразуем левую часть выражения, используя раскрытие скобок и метод группировки, чтобы привести её к виду правой части.

Рассмотрим левую часть выражения и выполним пошаговые преобразования:

1. Раскрытие скобок:

Умножим многочлен на многочлен и одночлен на многочлен:

(a^{2} \cdot ab + a^{2} \cdot c d + b^{2} \cdot ab + b^{2} \cdot c d) - (ab \cdot a^{2} + ab \cdot b^{2} - ab \cdot c^{2} - ab \cdot d^{2}) =

= a^{3} b + a^{2} c d + a b^{3} + b^{2} c d - a^{3} b - a b^{3} + ab c^{2} + ab d^{2}

2. Приведение подобных слагаемых:

Заметим, что $a^{3} b$ и $- a^{3} b$ , а также $a b^{3}$ и $- a b^{3}$ взаимно уничтожаются. Остается:

a^{2} c d + b^{2} c d + ab c^{2} + ab d^{2}

3. Группировка:

Сгруппируем слагаемые для вынесения общего множителя:

(a^{2} c d + ab d^{2}) + (ab c^{2} + b^{2} c d) = a d (a c + b d) + b c (a c + b d)

4. Вынесение общего множителя:

Выносим общую скобку $(a c + b d)$ за скобки:

(a c + b d) (a d + b c)

В результате преобразований левая часть стала тождественно равна правой части.

Номер 1012 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Краткое решение

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство тождеств

💡 Соседние задачи

🕒 Вы недавно смотрели