Номер 1013 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что значение выражения $(b + c - 2 a) (c - b) + (c + a - 2 b) (a - c) - (a + b - 2 c) (a - b)$ при любых значениях $a$ , $b$ и $c$ равно $0$ .

Краткое решение

(b + c - 2 a) (c - b) + (c + a - 2 b) (a - c) - (a + b - 2 c) (a - b) =

= (b c - b^{2} + c^{2} - c b - 2 a c + 2 ab) + (c a - c^{2} + a^{2} - a c - 2 ab + 2 b c) - (a^{2} - ab + ab - b^{2} - 2 a c + 2 b c) =

= c^{2} - b^{2} - 2 a c + 2 ab + a^{2} - c^{2} - 2 ab + 2 b c - a^{2} + b^{2} + 2 a c - 2 b c =

= 0

Подробное решение

📚 Теория: Преобразование выражений

Для доказательства тождества необходимо раскрыть скобки, перемножив многочлены, и привести подобные слагаемые. Если в результате получается 0, значит, значение выражения не зависит от переменных и всегда равно нулю.

Пошаговое раскрытие скобок

Раскроем каждую пару скобок по отдельности:

1. $(b + c - 2 a) (c - b) = b c - b^{2} + c^{2} - b c - 2 a c + 2 ab = c^{2} - b^{2} - 2 a c + 2 ab$

2. $(c + a - 2 b) (a - c) = a c - c^{2} + a^{2} - a c - 2 ab + 2 b c = a^{2} - c^{2} - 2 ab + 2 b c$

3. $(a + b - 2 c) (a - b) = a^{2} - ab + ab - b^{2} - 2 a c + 2 b c = a^{2} - b^{2} - 2 a c + 2 b c$

Теперь соберем все части вместе, учитывая знак «минус» перед третьей группой скобок:

(c^{2} - b^{2} - 2 a c + 2 ab) + (a^{2} - c^{2} - 2 ab + 2 b c) - (a^{2} - b^{2} - 2 a c + 2 b c) =

= c^{2} - b^{2} - 2 a c + 2 ab + a^{2} - c^{2} - 2 ab + 2 b c - a^{2} + b^{2} + 2 a c - 2 b c

Приведем подобные слагаемые:

$a^{2} - a^{2} = 0$
$b^{2} - b^{2} = 0$
$c^{2} - c^{2} = 0$
$2 ab - 2 ab = 0$
$2 b c - 2 b c = 0$
$2 a c - 2 a c = 0$

В итоге получаем $0$ . Тождество доказано.

Номер 1013 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Краткое решение

Подробное решение

📚 Теория: Преобразование выражений

Пошаговое раскрытие скобок

💡 Соседние задачи

🕒 Вы недавно смотрели