Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 1004

Номер 1004 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что значение выражения:

Краткое решение

а) 413+193=\text{а) } 41^3 + 19^3 =
=(41+19)(412−41⋅19+192)== (41 + 19)(41^2 - 41 \cdot 19 + 19^2) =
=60⋅(1681−41⋅19+361) — делится на 60.= 60 \cdot (1681 - 41 \cdot 19 + 361) \text{ — делится на 60.}
б) 793−293=\text{б) } 79^3 - 29^3 =
=(79−29)(792+79⋅29+292)== (79 - 29)(79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2) =
=50⋅(792+79⋅29+292) — делится на 50.= 50 \cdot (79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2) \text{ — делится на 50.}
в) 663+343=\text{в) } 66^3 + 34^3 =
=(66+34)(662−66⋅34+342)== (66 + 34)(66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2) =
=100⋅((2⋅33)2−2⋅33⋅2⋅17+(2⋅17)2)== 100 \cdot ((2 \cdot 33)^2 - 2 \cdot 33 \cdot 2 \cdot 17 + (2 \cdot 17)^2) =
=100⋅(4⋅332−4⋅33⋅17+4⋅172)== 100 \cdot (4 \cdot 33^2 - 4 \cdot 33 \cdot 17 + 4 \cdot 17^2) =
=100⋅4⋅(332−33⋅17+172)== 100 \cdot 4 \cdot (33^2 - 33 \cdot 17 + 17^2) =
=400⋅(332−33⋅17+172) — делится на 400.= 400 \cdot (33^2 - 33 \cdot 17 + 17^2) \text{ — делится на 400.}
г) 543−243=\text{г) } 54^3 - 24^3 =
=(54−24)(542+54⋅24+242)== (54 - 24)(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2) =
=30⋅((6⋅9)2+6⋅9⋅6⋅4+(6⋅4)2)== 30 \cdot ((6 \cdot 9)^2 + 6 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 4 + (6 \cdot 4)^2) =
=30⋅(36⋅81+36⋅9⋅4+36⋅16)== 30 \cdot (36 \cdot 81 + 36 \cdot 9 \cdot 4 + 36 \cdot 16) =
=30⋅36⋅(81+36+16)== 30 \cdot 36 \cdot (81 + 36 + 16) =
=1080⋅(81+36+16) — делится на 1080.= 1080 \cdot (81 + 36 + 16) \text{ — делится на 1080.}

Подробное решение

📚 Теория: Формулы суммы и разности кубов

Для доказательства делимости разложим выражения на множители:

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Если один из множителей делится на заданное число, то и всё произведение делится на него.

Решение пункта а)

Применяем формулу суммы кубов. Первым множителем будет сумма оснований: 41+19=6041 + 19 = 60.

413+193=(41+19)(412−41⋅19+192)=60⋅(412−41⋅19+192)41^3 + 19^3 = (41 + 19)(41^2 - 41 \cdot 19 + 19^2) = 60 \cdot (41^2 - 41 \cdot 19 + 19^2)

Так как в произведении есть множитель 6060, значение выражения кратно 6060.

Решение пункта б)

Применяем формулу разности кубов. Разность оснований: 79−29=5079 - 29 = 50.

793−293=(79−29)(792+79⋅29+292)=50⋅(792+79⋅29+292)79^3 - 29^3 = (79 - 29)(79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2) = 50 \cdot (79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2)

Наличие множителя 5050 доказывает делимость всего выражения на 5050.

Решение пункта в)

Разложим сумму кубов: 66+34=10066 + 34 = 100. Чтобы получить множитель 400400, вынесем 44 из неполного квадрата:

663+343=(66+34)(662−66⋅34+342)=100⋅(662−66⋅34+342)66^3 + 34^3 = (66 + 34)(66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2) = 100 \cdot (66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)

Заметим, что 66=2⋅3366 = 2 \cdot 33 и 34=2⋅1734 = 2 \cdot 17, значит из каждого квадрата можно вынести 22=42^2 = 4:

100⋅4⋅(332−33⋅17+172)=400⋅(332−33⋅17+172)100 \cdot 4 \cdot (33^2 - 33 \cdot 17 + 17^2) = 400 \cdot (33^2 - 33 \cdot 17 + 17^2)

Выражение делится на 400400.

Решение пункта г)

Разность оснований: 54−24=3054 - 24 = 30. Для получения 10801080 (30⋅3630 \cdot 36), вынесем 3636 из неполного квадрата:

543−243=30⋅(542+54⋅24+242)54^3 - 24^3 = 30 \cdot (54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)

Так как 54=6⋅954 = 6 \cdot 9 и 24=6⋅424 = 6 \cdot 4, выносим 62=366^2 = 36:

30⋅36⋅(92+9⋅4+42)=1080⋅(81+36+16)30 \cdot 36 \cdot (9^2 + 9 \cdot 4 + 4^2) = 1080 \cdot (81 + 36 + 16)

Выражение делится на 10801080.

💡 Соседние задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...