Представьте в виде произведения:
- а) (x+1)3+x3;
- б) (y−2)3−27;
- в) (a−b)3+b3;
- г) 8x3+(x−y)3;
- д) 27a3−(a−b)3;
- е) 1000+(b−8)3.
Краткое решение
а) (x+1)3+x3=(x+1+x)((x+1)2−x(x+1)+x2)=(2x+1)(x2+x+1) б) (y−2)3−27=(y−2−3)((y−2)2+3(y−2)+9)=(y−5)(y2−y+7) в) (a−b)3+b3=(a−b+b)((a−b)2−b(a−b)+b2)=a(a2−3ab+3b2) г) 8x3+(x−y)3=(2x+x−y)(4x2−2x(x−y)+(x−y)2)=(3x−y)(3x2+y2) д) 27a3−(a−b)3=(3a−(a−b))(9a2+3a(a−b)+(a−b)2)=(2a+b)(13a2−5ab+b2) е) 1000+(b−8)3=(10+b−8)(100−10(b−8)+(b−8)2)=(b+2)(b2−26b+244) Подробное решение
📚 Теория: Сумма и разность кубов
При выполнении заданий используются формулы:
1. Сумма кубов:
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) 2.
Разность кубов:a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) После разложения необходимо максимально упростить выражение во вторых скобках.
Решение пункта а)
Используем формулу суммы кубов для выражений x+1 и x:
((x+1)+x)((x+1)2−(x+1)x+x2)=(2x+1)(x2+2x+1−x2−x+x2)=(2x+1)(x2+x+1) Решение пункта б)
Представим 27 как 33 и применим разность кубов:
((y−2)−3)((y−2)2+3(y−2)+9)=(y−5)(y2−4y+4+3y−6+9)=(y−5)(y2−y+7) Решение пункта в)
Разложим сумму кубов для выражений a−b и b:
((a−b)+b)((a−b)2−(a−b)b+b2)=a(a2−2ab+b2−ab+b2+b2)=a(a2−3ab+3b2) Решение пункта г)
Представим 8x3 как (2x)3:
(2x+x−y)((2x)2−2x(x−y)+(x−y)2)=(3x−y)(4x2−2x2+2xy+x2−2xy+y2)=(3x−y)(3x2+y2) Решение пункта д)
Представим 27a3 как (3a)3:
(3a−(a−b))((3a)2+3a(a−b)+(a−b)2)=(3a−a+b)(9a2+3a2−3ab+a2−2ab+b2)= =(2a+b)(13a2−5ab+b2) Решение пункта е)
Представим 1000 как 103:
(10+b−8)(102−10(b−8)+(b−8)2)=(b+2)(100−10b+80+b2−16b+64)= =(b+2)(b2−26b+244) 