Номер 1015 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Упростите:

а) $2 (a^{2} - 1)^{2} - (a^{2} + 3) (a^{2} - 3) - \frac{1}{2} (a^{2} + a - 4) (2 a^{2} + 3)$ ;
б) $4 (m^{3} - 3)^{2} - (m^{2} - 6) (m^{2} + 6) - 9 (8 - m + m^{2}) (1 - m)$ .

Краткое решение

а) 2 (a^{2} - 1)^{2} - (a^{2} + 3) (a^{2} - 3) - \frac{1}{2} (a^{2} + a - 4) (2 a^{2} + 3) =

= 2 (a^{4} - 2 a^{2} + 1) - (a^{4} - 9) - 0, 5 (2 a^{4} + 2 a^{3} - 5 a^{2} + 3 a - 12) =

= 2 a^{4} - 4 a^{2} + 2 - a^{4} + 9 - a^{4} - a^{3} + 2, 5 a^{2} - 1, 5 a + 6 =

= - a^{3} - 1, 5 a^{2} - 1, 5 a + 17.

б) 4 (m^{3} - 3)^{2} - (m^{2} - 6) (m^{2} + 6) - 9 (8 - m + m^{2}) (1 - m) =

= 4 (m^{6} - 6 m^{3} + 9) - (m^{4} - 36) - 9 (8 - 8 m - m + m^{2} + m^{2} - m^{3}) =

= 4 m^{6} - 24 m^{3} + 36 - m^{4} + 36 - 72 + 72 m + 9 m - 9 m^{2} - 9 m^{2} + 9 m^{3} =

= 4 m^{6} - m^{4} - 15 m^{3} - 18 m^{2} + 81 m .

Подробное решение

📚 Теория: Порядок упрощения

Для упрощения таких выражений последовательно применяются:
1. Квадрат разности: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .
2. Разность квадратов: $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ .
3. Умножение многочленов: каждый член первой скобки умножается на каждый член второй скобки.

Разбор пункта а)

1. Возведем в квадрат первую скобку и свернем вторую пару скобок по формуле разности квадратов:

2 (a^{4} - 2 a^{2} + 1) - (a^{4} - 9) = 2 a^{4} - 4 a^{2} + 2 - a^{4} + 9 = a^{4} - 4 a^{2} + 11

2. Перемножим оставшиеся многочлены, используя коэффициент $0, 5$ (вместо $1/2$ ):

0, 5 (a^{2} + a - 4) (2 a^{2} + 3) = 0, 5 (2 a^{4} + 3 a^{2} + 2 a^{3} + 3 a - 8 a^{2} - 12) = a^{4} + a^{3} - 2, 5 a^{2} + 1, 5 a - 6

3. Вычтем полученный результат, не забывая менять знаки из-за минуса перед скобкой:

(a^{4} - 4 a^{2} + 11) - (a^{4} + a^{3} - 2, 5 a^{2} + 1, 5 a - 6) = - a^{3} - 1, 5 a^{2} - 1, 5 a + 17

Разбор пункта б)

1. Раскроем первые две части выражения:

4 (m^{6} - 6 m^{3} + 9) - (m^{4} - 36) = 4 m^{6} - 24 m^{3} + 36 - m^{4} + 36 = 4 m^{6} - 24 m^{3} - m^{4} + 72

2. Перемножим многочлены $(8 - m + m^{2})$ и $(1 - m)$ :

8 - 8 m - m + m^{2} + m^{2} - m^{3} = 8 - 9 m + 2 m^{2} - m^{3}

3. Выполним итоговое умножение на 9 и приведем подобные:

4 m^{6} - 24 m^{3} - m^{4} + 72 - 9 (8 - 9 m + 2 m^{2} - m^{3}) = 4 m^{6} - m^{4} - 15 m^{3} - 18 m^{2} + 81 m